המרת תחום לקואורדינטות גליליות

[yoni]

http://i.imgur.com/oYY9bOQ.png

 

איך חישבו את התחום של http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ctheta,%20r (טטה ו-r)? ניסיתי להציב http://www.codecogs.com/gif.latex?x=r%20%5Ccdot%20cos(%5Ctheta),%20y=r%20%5Ccdot%20sin(%5Ctheta),%20z=z אבל אני לא מקבל את התחומים שרשומים במשבצת.

[אודי]

גבולות האינטגרציה ב-y הם
http://www.codecogs.com/gif.latex?0%20%5Cleq%20y%20%5Cleq%20%5Csqrt%7B2ax-x%5E2%7D
מכיוון שכל האי שוויון הזה אי שלילי, אפשר להעלות אותו בריבוע ולקבל
http://www.codecogs.com/gif.latex?y%5E2%20%5Cleq%202ax-x%5E2
(החלק של גדול מאפס הושמט כי הוא טריוויאלי)
עכשיו הוסף לשני האגפים x^2 וקבל
http://www.codecogs.com/gif.latex?%20x%5E2+y%5E2%20%5Cleq%202ax
ובהצבת x,y בקואורדינטות פולריות
http://www.codecogs.com/gif.latex?%20r%5E2%20%5Cleq%202ar%20%5Ccos%20%5Ctheta
צמצם r וקבלת את תחום האינטגרציה ב-r. הערך המינימלי של r הוא אפס כי הראשית (0,0) בתוך התחום.

לגבי תטא, קל לראות שהאינטגרציה היא על כל הרבע הראשון, כי התחום מכיל נקודות על ציר y החיובי (למשל, http://www.codecogs.com/gif.latex?(0,%5Csqrt%7B2ax-x%5E2%7D)) וגם על ציר x החיובי (למשלhttp://www.codecogs.com/gif.latex?%20(2a,0)). פה ציור פשוט של הטל תחום האינטגרציה על מישור xy יספיק לראות מהו תחום הזווית המתאים.

נערך בתאריך ספטמבר 13, 2013 - על-ידי אודי