מבוא להסתברות ח- שתי שאלות

[Sweex]

בקשר לשתי השאלות, אני רוצה להבין מה לא עשיתי נכון כי התשובה שקיבלתי לא תואמת לתשובות:

4. התוחלת של X בהינתן שX>=1 היא הסכום האינסופי של ההתפלגות הפואסנית הנתונה כפול אינדס רץ k , כלומר:
E=sum(k=1 to inf)k*e^-1*1\k!

E=e^-1*sum(k=1 to inf)1(\k-1)! ddd

E=e^-1*e=1
מה לא עשיתי פה נכון?

5. אני הגדרתי את השטח של המלבן הקטן בתור :
S=(X-Qx)(X-Qy)=X^2-X*Qy-X*Qx-QxQy ddd
ויצאתי מהנחה דיי טבעית שהוקטור Q מתפלג בצורה אחידה כאשר הרכיב X שלו מתפלג בצורה אחידה בין 0 ל - X והרכיב Y שלו מתפלג באותו אופן.
מפה הוצאתי תוחלת על S והשתמשתי קצת במשפט ההחלקה ובסופו של דבר יצא לי :

1 חלקי 4 כפול למבדא בריבוע שגם את התשובה הזאת אין.

מה לא עשיתי נכון בשני המקרים ? :\

[Sweex]

אוקיי, עם 4 הסדרתי. 
אפשר רק עזרה ב- 5?

[radagast]

1. מהו הפילוג המותנה X|X>=1 ? זה לא סתם להעיף משם את המספר הראשון, זה צריך להיות פילוג כלשהו. אם אתה סתם מחסיר את האפשרות של X=0 תקבל שהסכום לא יהיה אחד.

צריך למצוא את הפילוג של משתנה שהינו Y=X בהנתן X>=1. אפשר עם בייס, יוצא שסה"כ צריך לנרמל את ההסתברות ללא האפשרות של X=0.

 

2. אולי במקום המומנט השני של המשתנה המעריכי הצבת את השונות? הם שונים, כי התוחלת שונה מאפס.

[Sweex]

זה לא אמור לשנות כי בסופו של דבר הביטוי שנשאר הוא EQyEQx

זאת בשל העובדה שהתוחלת המותנית של כל Q היא אמצע הקטע 0 עד X שזה X\2. אז יצא לי שהמומנט השני של X יתבטל יחד עם הביטויים E(XQ) ל- X ו- Y.
כנראה שטעיתי אפשהו בהנחה כי אני לא רואה שטעיתי בחישוב :\

[radagast]

קודם כל צריך להיות שם + לפני האיבר האחרון (בהודעה הראשונה שלך).

אח"כ, ממה שאני רואה, אין ממש סיבה לעשות כמו שעשית, אפשר לבחור את נק' ההתחלה של הריבוע כנק' ההתחלה של המלבן ואז לא צריך חיסור (למרות שזה כנראה יוצא אותו הדבר).

 

נגיד שצלע הריבוע היא R וצלעות המלבן הן X,Y. אז מה שמתקיים זה שX בת"ס ב-Y בהנתן R (סתם ככה הם לא בת"ס).

החישוב אצלך:

http://www.codecogs.com/gif.latex?ER%5E2-ERX-ERY+EXY=

http://www.codecogs.com/gif.latex?=2%5Clambda%5E%7B-2%7D-E%5BE%5BRX%7CR%5D%5D-E%5BE%5BRY%7CR%5D%5D+E%5BE%5BXY%7CR%5D%5D

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?=2%5Clambda%5E%7B-2%7D-E%5BRE%5BX%7CR%5D%5D-E%5BRE%5BY%7CR%5D%5D+E%5BE%5BX%7CR%5DE%5BY%7CR%5D%5D

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?=2%5Clambda%5E%7B-2%7D-E%5BR%5E2/2%5D-E%5BR%5E2/2%5D+E%5BR/2%5Ccdot%20R/2%5D

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?=2%5Clambda%5E%7B-2%7D-E%5BR%5E2%5D+E%5BR/2%5Ccdot%20R/2%5D

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?=E%5BR%5E2/4%5D=2%5Clambda%5E%7B-2%7D/4

 

 

 

[Sweex]

אהההה...
איזו טעות מפגרת, שכחתי לחלוטין שהם בלתי תלויים אך ורק בתנאי שהם נתונים ביחס ל- X (צלע ריבוע) קבוע.
תודה רבה!

[Sweex]

אני לא רוצה להציף נושאים בפורום אז ברשותך עוד שאלה:

בשאלה הזאת הלכתי לפי ההדרכה שלהם, מצאתי את פונקציית הצפיפות של A ו- B ששתיהן מתפלגות בצורה אחידה בין 4\1 ל- 0.
מכיוון שמבקשים את תוחלת של המינימום של A, B והם משתנים בלתי תלויים אז התוחלת של המינימום של שניהם אמור להיות סכום התוחלות של A ו- B , לא ככה?
 

[radagast]

מהו סעיף 7.1?

[Sweex]

זה

[radagast]

למה שהתוחלת של המינימום תהיה סכום התוחלות?

עד כמה שאני רואה, השטח הוא המינימום שבין X,Y,1-X,1-Y (כפול חצי). אפשר לחלק את זה למינימום בין (X ו- 1-X) והמינימום בין (Y, 1-Y) ואז להשתמש במשפט.

מקבלים שצריך למצוא את תוחלת המינימום בין שני משתנים בלתי תלויים ומפולגים אחיד בין 0 ל-0.5. אפשר לחשב את זה ע"י חישוב פילוג של המשתנה Z=min(A,B ) ddd והתוחלת של זה כנראה מתקבלת 1/6.

נערך בתאריך יולי 29, 2013 - על-ידי radagast

[Sweex]

יש מצב שאתה מראה את החישוב איך הגעת ל- 6\1?
לפי איך שאני מחשב את זה יוצא לי ש- Z מתפלג בצורה אחידה בין 0 לרבע :\
 

[radagast]

זה כמו ששאלת פה לפני כמה ימים

http://www.codecogs.com/gif.latex?Z=min(A,B)

http://www.codecogs.com/gif.latex?P(Z

סה"כ A,B בלתי תלויים ושווי פילוג, אז:

http://www.codecogs.com/gif.latex?=1-P(A

בתחום שבו זה שונה מאפס, כלומר בין 0 לחצי.

כדי לחשב את התוחלת, אפשר או לגזור ולקבל את הצפיפות, ואז מקבלים את האנטגרל:

http://www.codecogs.com/gif.latex?E%5BZ%5D=%5Cint_0%5E%7B0.5%7Dz(4-8z)dz=1/6

או דרך נוסחת הזנב כי זה חיובי...

[Sweex]

מלך!
תודה!

(כשחישבתי את Z שכחתי להשתמש בנוסחא של איחוד מאורעות שזה ההסתברות של A + ההסתברות של B פחות החיתוך שלהם. בגלל זה טעיתי)

[Sweex]

אם זה בסדר יש לי עוד שאלה.
בשאלה הזאת איך שהלכתי זה הגדרתי שני משתנים גיאומטריים X ו- Y אחד זה מספר הניסויים עד להצלחה והשני עד לכישלון (שמבחינת הניסויים זה מוגדר "כהצלחה").
כלומר X-Geo(1\3)ddd ו- Y-Geo(2\3)ddd.
עכשיו צריך לחשב את התוחלת של שני המשתנים ואני חישבתי את הסכום שלהם, אבל אני מודע שיש פה בעיה X ו -Y אינם בת"ל.
איך אני אמור להמשיך מהנקודה הזאת? או שיש דרך יותר טובה למצוא את זה?

[radagast]

בסך הכל יש שתי אפשרויות - האם התחלנו מעץ (נגיד שכך מוגדרת ההצלחה) או מפלי. אם התחלנו מעץ, אז המשתנה הדרוש הוא מ"א גאומטרי עם סיכויי הצלחה 2/3, ואחרת - מ"א גאומטרי עם סיכויי הצלחה 1/3. יש הסתברות של 1/3 להתחיל מעץ, אז נקבל:

http://www.codecogs.com/gif.latex?E%5BN%5D=1+1/3E%5BN%7CX=1%5D+2/3E%5BN%7CX=0%5D

כאשר X היא תוצאת ההטלה הראשונה, "ומתחילים לספור" עבור המ"א הגאומטרי החל מההטלה השניה, לכן יש שם תוספת של 1.

אז סה"כ נקבל 1+2+0.5=3.5

[Sweex]

אז מבחינה פורמלית זה יראה ככה?
E[N]= 1 +X*P(Y = 1)+ Y*(P(X = 1) ddd
כאשר 1 הוא למעשה 1 * 1 הסתברות כי בוודאות תהיה זריקה ראשונה.
X משתנה גיאומטרי שסופר עד להצלחה בהסתברות של 3\1 וההסתברות שכופלים בו היא שאני אשתמש בו שהיא 3\2.
Y משתנה גיאומטרי שסופר עד לכישלון (בתור הצלחה) עם פרמטר 3\2 וההסתברות שהוא יהיה בשימוש היא 3\1 (במידה ותהיה הצלחה).
זה מדוייק לרשום את זה ככה?

[radagast]

לא, זה לא יכול להיות, כי בצד שמאל יש תוחלת ולכן זהו מספר, ובצד ימין יש משתנים מקריים (X,Y)

פורמלית, נגיד שאנחנו רוצים למצוא את תוחלת ההטלות מהשניה והלאה ונגדיר את זה כ-N. כלל ההטלות יהיו למשל M=N+1.

כדי לחשב את N, נשתמש בהסתברות שלמה ונקבל

http://www.codecogs.com/gif.latex?EN=E%5BE%5BN%7CX%5D%5D%20=%20E%5BN%7CX=1%5DP(X=1)+E%5BN%7CX=0%5DP(X=0)

שזה מה שכתבתי קודם, N בהנתן X=1 הוא משתנה גאומטרי עם סיכויי הצלחה המתאימים ו-N בהנתן X=0 הוא המשתנה עם סיכוייה ההצלחה המשלימים.

ואז פשוט http://www.codecogs.com/gif.latex?E%5BM%5D=E%5BN+1%5D=E%5BN%5D+1

נערך בתאריך יולי 30, 2013 - על-ידי radagast

[Sweex]

כרגיל, תודה רבה :-)

[Sweex]

מצטער להמשיך להציק עם שאלות, אבל הסתברות ח' לצערי לא מקצוע פשוט.

בכל מקרה בשאלה הזאת, אני לא מצליח להבין איך אני בכלל מחפש את הווריאנס.
אני יכול למצוא את הצפיפות המשותפת של X ו -Y ולנסות דרך ההסתברות למצוא משהו,  אבל אני לא יכול לבצע אינטגרציה כי יש לי פה רכיבים שאי אפשר לפרק (X^2 , Y^2)

איך אני בכלל ניגש לשאלה הזאת?

[radagast]

אם X ו-Y בלתי תלויים סטטיסטית, אז החיסור שלהם הוא משתנה אקראי גאוסי ואפשר לחשב את שונותו (סכום השונויות) ואת תוחלתו (הפרש התוחלות).

עכשיו אפשר להגדיר Z=X-Y, ואז להגיע בביטוי ההסתברות (עם נרמול מתאים) לפונקציה של משתנה גאוסי תקני N(0,1) ddd , ולהשתמש בטבלת הערכים כדי לגלות את הנעלם (סיגמא)

[Sweex]

העובדה שהם בת"ל ושאפשר להגדיר משתנה לחיסור שלהם נובעת מקונבולוציה?

[radagast]

קודם כל, הם צריכים להיות בלתי תלויים סטטיסטית בשביל זה.

אפשר למצוא דוגמא של שני גאוסיים בלתי תלויים לינארית (חסרי קורלציה) שהחיבור/חיסור שלהם לא יהיה גאוסי. למשל, אם אתה מעוניין, אז אפשר לקחת גאוסי X עם תוחלת 0 ושונות 1, ומשתנה בלתי תלוי סטטיסטית עם פרמטר הצלחה 0.5 B (שמקבל את הערכים 1 ו-1-) ואז להגדיר: Y=BX. אז EXY-EXEY=E[XBX]-0=EX^2EB=0 ולכן הם חסרי קורלציה.

אבל Y-X אינו גאוסי, כי משתנה גאוסי הוא רציף והסתברותו לקבל ערך בדיד היא 0, ולעומת זאת Y-X=BX-X=(B-1)X וזה שווה ל0 בהסתברות 0.5.

 

אבל זה לא קשור לעניין.

 

אם הם בלתי תלויים סטטיסטית, אז כן, זה נובע מקונוולוציה אבל יותר קל לראות את זה דרך פונקציה אפיינית:

http://www.codecogs.com/gif.latex?Eexp(jZ)=Eexp(j(X+Y))=Ee%5E%7BjX%7De%5E%7BjY%7D=Ee%5E%7BjX%7DEe%5E%7BjY%7D ואז כשמציבים את הפונקציה האפיינית של גאוסי רואים שהשונויות מתחברות באקספוננט, ומתקבלת פונקציה אפיינית של משתנה גאוסי עם סכום השונויות, ולכן הפילוג של Z הוא גאוסי עם שונות שהיא הסכום.

נערך בתאריך יולי 31, 2013 - על-ידי radagast

[Sweex]

הבנתי.
כרגיל, תודה רבה :)

[radagast]

בהצלחה :)