שאלה מבוא להסתברות ח'

[Sweex]

אוקיי, אני פשוט לא מצליח להבין מה עשו בשאלה הזאת כמצאו את פונקציית התתפלגות ל- min(X,Y) ddd.
קודם כל למה הם מחשבים את הפונקציה המשלימה של פונקציית ההתפלגות של המינימום.
ודבר שני, אם X ו- Y הם כמות ההתלות הדרושות לקבלת הצלחה אז למה אין פה סכום?
יותר קריטי בקשר לסכום.
הרי איך שאני עושה את זה בד"כ זה מוצא את פונקציית ההתפלגות של המינימום וקורא לה בשם Z למשתנה min(X,Y) ddd.
שזה אנלוגי ל- Z גדול מ- X "או" (איחוד מאורעות) Z גדול מ- Y פחות החיתוך.
המאורעות בלתי תלויים לחלוטין ולכן החיתוך הוא כפל הסכום של ההסתברויות עד איזה Z.
במקרה הזה זה כמובן מסובך מידי כי יוצא לי סכום עד Z בריבוע, אבל למה איך שהם עשו את זה נכון?
אני כל פעם רואה את השאלות האלה וכל פעם מסתבך עם ההגדרה של המינימום או המקסימום.
אשמח אם מישהו יוכל להבהיר לי את הנקודה הזאת.

[radagast]

אירוע בו המינימום בין שני משתנים גדול ממשהו זהה לאירוע בו שניהם גדולים ממנו, כי עבור האירוע השני זה מתקיים באופן מיידי. זה כמו שניתן להגיד להיפך על מקסימום, ואירוע בו הוא קטן ממשהו.

 

Sent from my toilet using Tapatalk

 

 

[Sweex]

אוקיי, אבל אפילו ככה. מדובר פה על סכום של כל ההצלחות שקרו אחרי איזה K כלשהו וזה סכום מה- K הזה עד לאינסוף. למה התעלמו מהסכום הזה?
 

[radagast]

זה אחד פחות פונקציית ההתפלגות, שהיא מה שכתוב שם.

http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%94%D7%AA%D7%A4%D7%9C%D7%92%D7%95%D7%AA_%D7%92%D7%90%D7%95%D7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%AA

 

אולי אם היינו רוצים לחשב את התוחלת, היינו צריכים סכום אינסופי, אבל בינתיים מדובר רק בפילוג.

[Sweex]

מה זאת אומרת?
הרי הפונקציית התפלגות של משתנה אקראי דיסקרטי מנוסחת כ- P(Y<=y) ddd
שזה למעשה הסכום מ- 0 עד y כלשהו (כי זה איחוד מאורעות Y=1 Y=2 Y=3 .... Y=y).
פשוט התכוונתי סכום אינסופי כי סופרים מ- K עד אינסוף כאשר ההסתברות ש- X>K.
 

[radagast]

אוקי, אבל מה שיוצא מהסכום הזה הוא פונקציית ההסתברות המצטברת (ההתפלגות), ויש לה צורה סגורה, בלי סכום.

למשל, אם ההסתברות להצלחה ראשונה בנסיון ה-k היא

http://www.codecogs.com/gif.latex?q%5E%7Bk-1%7Dp

אז ההסתברות שזה יקרה עד אז (כלומר, X<=k) היא

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bj=1%7D%5Ek%20q%5E%7Bj-1%7Dp=p%5Csum_0%5E%7Bk-1%7Dq%5Ej=p%5Cfrac%7Bq%5E%7Bk%7D-1%7D%7Bq-1%7D

http://www.codecogs.com/gif.latex?=1-q%5E%7Bk%7D

 

[Sweex]

אהה.. 
שכחתי לגמרי שאפשר לחשב את הסכום הזה
תודה !

[radagast]

בגלל זה זה נקרא התפלגות גיאומטרית :)