עוד כמה שאלות ממבחנים בחדו"א 2

[Ron]

יש לא מעט. כל אחד לפי יכולתו ורצונו...

 

בקשר לשאלה שעוסקת בכלל השרשרת- אני לא מצליח להסיר את החלודה בקשר לאיך עושים את הפעולה עליה...

תודה לעונים

[אודי]

1. יש לך שני נתונים על הנקודה (a,b,c):

    א. היא על הישר, ולכן מקיימת את משוואת הישר. מזה נובע b=2a ו-c=3a ולכן גם הגודל המבוקש מקיים 2a+b+c=7a

    ב. היא הנקודה הקרובה ביותר לנקודה (1,1,1) מה שאומר שהוקטור (a-1,b-1,c-1) מאונך לוקטור הכיוון של הישר, (1,2,3).

כשאתה מציב במכפלה הסקלרית של ב' את התוצאה של א' אתה מקבל 14a=6 או 7a=3 שהיא תשובה ד'.

 

2. זה חישוב סטנדרטי של אינטגרל משטחי. הקוארדינטות שלך פולריות, וההצגה הפרמטרית המתאימה של המשטח S היא:

http://www.codecogs.com/gif.latex?x=r%20%5Ccos%20%5Ctheta

http://www.codecogs.com/gif.latex?y=r%20%5Csin%20%5Ctheta

http://www.codecogs.com/gif.latex?z=1-r(%5Ccos%20%5Ctheta%20+%20%5Csin%20%5Ctheta)

כאשר r בין אפס ל-2 ותטא בין אפס לשני פאי.

אחרי שאתה מחשב את

http://www.codecogs.com/gif.latex?%7Cd%5Cvec%7BS%7D%7C=%7Cd%5Cvec%7BS,_r%7D%20%5Ctimes%20d%5Cvec%7BS,_%5Ctheta%7D%7C

אתה מקבל

http://www.codecogs.com/gif.latex?%7Cd%5Cvec%7BS%7D%7C=%5Csqrt%7B3%7Dr

ואז האינטגרציה על ds פשוטה. התשובה היא http://www.codecogs.com/gif.latex?4%5Cpi%5Csqrt%7B3%7D

[אודי]

3. השאלה הזו די זדונית.

    א. הטריק פה הוא כזה - אתה צריך לשים לב שהנגזרות הוקטוריות המבוקשות הן לא סתם נגזרות וקטוריות, אלא נגזרות וקטוריות של העקומים r1,r2 בנקודה (1,2,3) (אפשר לראות מהצבת t=1 ו-u=0 בהצגה הפרמטרית של העקומים)..

    כלומר, הנגזרות האלו מתארות את כיוון המשיק לעקום בנקודה (1,2,3). המשיק לעקום על משטח מאונך לגרדיינט למשטח באותה נקודה, ולכן שני וקטורי הנגזרות מאונכים לגרדיינט בנקודה. זה אותו גרדיינט שיוצר יחד איתם את המקבילון.

 

    ב. מסעיף א' ומהפשטות של הנגזרות הוקטוריות (יוצאות הוקטורים (1,1,1) ו-(0,2,0)) נובע שבחישוב נפח המקבילון כדאי לבצע מכפלה וקטורית בין שני וקטורי הנגזרות (יוצא הוקטור http://www.codecogs.com/gif.latex?(2,0,-2))

 

    ג. עכשיו יש לך מכפלה סקלרית של הוקטור מב' עם הגרדיינט כדי לחשב את נפח המקבילון. מכיוון שמדובר בוקטורים מקבילים, התוצאה היא פשוט הגודל של הוקטור מב' כפול גודל וקטור הגרדיינט, כלומר http://www.codecogs.com/gif.latex?V=%5Csqrt%7B8%7D%20%7C%5Cnabla%7Bu%7D(1,2,3)%7C

 

    ד. מכיוון שאתה יודע ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?V=%5Csqrt%7B8%7D נובע מסעיף ג' ש-[tex |\nabla{u}(1,2,3)|=1[/tex]. זה אפילו לא חסם עליון, הם סתם השתמשו בניסוח הזה כדי לשמור על ערפול לגבי הזוויות במקבילון.

[אודי]

4. זו שאלת המשך ונראה שחסרים פה נתונים, כלומר השאלה הקודמת שתתן פרטים על המשטח http://www.codecogs.com/gif.latex?z(x,y)

 

5. מהצבת t=1 בארגומנטים http://www.codecogs.com/gif.latex?x(t), http://www.codecogs.com/gif.latex?y(t) ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?z(t) של הפונקצייה החדשה אתה מקבל ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?g(1) מתאימה ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?f(0,1,2).

    כדי למצוא את הנגזרת של g, אתה צריך לחשב את הנגזרות החלקיות של f בנקודה (0,1,2) ולהכפיל אותן בנגזרות של הפונקציות http://www.codecogs.com/gif.latex?x(t), http://www.codecogs.com/gif.latex?y(t) ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?z(t) בנקודה 1:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?g'(1)=f_x(0,1,2)x'(1)+f_y(0,1,2)y'(1)+f_z(0,1,2)z'(1)

לאחר חישוב כל הנגזרות הרלוונטיות מתקבל:

http://www.codecogs.com/gif.latex?g'(1)=4%20%5Ctimes%200%20+%205%20%5Ctimes%203%20+%20(-5)%20%5Ctimes%206%20=%20-15