אלגברה 1מ - הוכחות במרחבים וקטוריים

[אלגברע]

בס"ד נתקלתי בשאלה במרחבים וקטוריים שצריך להוכיח שם מספר דברים, הפתרון מצורף אבל אני לא מצליח להבין אותו אשמח אם תוכלו להסביר לי את התשובה בפירוט. צירפתי תמונה. תודה רבה.

 

http://jpg.co.il/view/51dab60a0c18a.png/

[אודי]

1. יש לך שתי קבוצות, u ו-w  שכל אחת בסיס בלתי תלוי של תת המרחב שלה (U ו-W בהתאמה). הרכבת קבוצה שמכילה את שני הבסיסים, נקרא לה http://www.codecogs.com/gif.latex?A=(u,w)

 

2. אתה רוצה לבדוק מתי קומבינציה של כל אברי A שווה לאפס כדי למצוא אם A קבוצה בלתי תלוייה או לא.

 

3. כשמעבירים אגף את כל האברים בקומבינציה ששייכים ל-w מקבלים שוויון בין וקטור ב-U (קומבניציה של כל אברי u) לוקטור ב-W (קומבינציה של כל אברי w), מכאן ששתי התת קומבינציות נותנות וקטור ששייך לחיתוך בין U ל-W.

 

4. אבל החיתוך בין U ל-W הוא וקטור האפס בלבד, מכאן שכ"א מהתת קומבינציות, של וקטורי u ושל וקטורי w, חייבת להיות שווה לוקטור האפס.

 

5. מכיוון שאתה כבר יודע ש-u ו-w הן בסיסים, ובפרט קבוצות בלתי תלויות ב-U ו-W, מהשוויון של שתי התת קומבינציות לאפס נובע שכל המקדמים בשתי התת קומבינציות חייבים להתאפס.

 

6. סה"כ קבלת שכדי שקומבינציה של כל הוקטורים ב-A תתאפס כל המקדמים חייבים להתאפס, כלומר A קבוצה בלתי תלוייה (או בסיס של המרחב שהוא הסכום הישר של U ו-W).

 

7. אם A בסיס של מרחב הסכום הישר של שני התת מרחבים, המימד הוא הגודל שלו שהוא סכום הגדלים של המרחבים.

נערך בתאריך יולי 8, 2013 - על-ידי אודי

[אלגברע]

בס"ד

 

תודה רבה אודי