שלום, יש לי שאלה נוספת לגבי טרנספורמציות.

[riovelo]

אז ככה, השאלה היא:
"תהי T:V-->V העתקה לינארית כך ש: dimV=4. יהי {v1,v2,v3,v4} בסיס של V.  נתון ש {v1, v2} בסיס הגרעין. 
הוכח כי: T(v1  ו T(v2 הם ב.ת.ל."
השאלה שלי היא מה בדיוק צריך להוכיח, הרי כשכותבים את V כקומבינציה לינארית של  v1 עד v4 זו מן הסתם קבוצה ב.ת.ל כי היא בסיס של V ואותו דבר גם אחרי שמפעלים את T. ואם נוציא מהקבוצה הזו שני ווקטורים ב.ת.ל היא עדיין תשאר ב.ת.ל.. כלומר, זה נראה כמו הוכחה בלי "בשר". או שאולי אני מפספס פה משהו.
בכל מקרה, אני אשמח לעזרה.

[אודי]

  נתון ש {v1, v2} בסיס הגרעין. הוכח כי: T(v1  ו T(v2 הם ב.ת.ל."

 

משהו פה מוזר. הגרעין של ההעתקה עובר לוקטור האפס, אז T(v1)=T(v2)=0 ובודאי שהם תלויים

:scratch:

יכול להיות שהיה כתוב ש-v1,v2 הם בסיס של התמונה?

 

אין שום הכרח שבסיס של V עובר לבסיס של V אחרי ההעתקה.

אם ההעתקה לא חח"ע ו-V1 למשל עובר לוקטור האפס, הרי ברור שהטרנספורמציה של הבסיס לא יכולה להיות בסיס לכל V כי יש בה רק לכל היותר שלושה וקטורים בלתי תלויים והמימד של ה-span הוא לכל היותר 3. 

נערך בתאריך יוני 25, 2013 - על-ידי אודי

[riovelo]

סליחה, טעות שלי. העתקתי לא נכון. היה כתוב הוכח כי T(v3 ו- T)v4 ב.ת.ל.

[אודי]

אה, יותר הגיוני.

 

ההוכחה בשלילה. נניח ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?T(%5Cvec%7Bv_3%7D)   ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?T(%5Cvec%7Bv_4%7D) תלויים ליניארית.

אז קיימת קומבינציה שלהם שהיא וקטור האפס, נניח http://www.codecogs.com/gif.latex?aT(%5Cvec%7Bv_3%7D)+bT(%5Cvec%7Bv_4%7D)=0 כש-a,b מספרים ממשיים.

אבל מהליניאריות של הטרנספורמציה נובע ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?T(a%5Cvec%7Bv_3%7D+b%5Cvec%7Bv_4%7D)=0 כלומר http://www.codecogs.com/gif.latex?a%5Cvec%7Bv_3%7D+b%5Cvec%7Bv_4%7D  וקטור בגרעין, או

http://www.codecogs.com/gif.latex?a%5Cvec%7Bv_3%7D+b%5Cvec%7Bv_4%7D%20%5Cin%20Span(%5Cvec%7Bv_1%7D,%5Cvec%7Bv_2%7D)

...זה כמובן לא יכול להיות כי מדובר בארבעה וקטורי בסיס בלתי תלויים.

 

[riovelo]

אוקיי, הסבר משכנע. תודה רבה!