שלום. אני צריך בבקשה עזרה בסכום רימן במספר שאלות. אשמח לעזרה, תודה מראש.

[riovelo]

.

[riovelo]

?

[אודי]

1. אני לא רואה סיבה שהפונקציה אחד חלקי שורש איקס לא תהיה אינטגרבילית בקטע הזה. לדעתי זה אפילו אינטגרל מתכנס ששווה ל-2. יש רק נקודת אי רציפות אחת, ב-0, ושינוי ערך של נקודה אחת לא אמור לפגוע באינטגרביליות. אפילו אם לוקחים אינסוף והופכים אותו לערך סופי.

 

2. אני חושב שזה לא נכון. קח לדוגמא פונקציה שאינה אינטגרבילית רימן (כלשהיא), והוסף לה את מינוס עצמה פלוס קבוע. הסכום של הפונקציות הוא פונקציה קבועה שהיא אינטגרבילית.

 

3. אני לא בטוח, אבל מכלל לייבניץ נראה שהגבול קיים וסופי, לא? אפשר לגזור לפני לקיחת הגבול ולקבל שהאינטגרל שווה ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?arctg(x+1)-arctg(x). כשאתה לוקח את x לאינסוף שני האיברים נותנים pi/2 ומבטלים זה את זה.

 

4. נראה לי נכון. מתקבל מהחלפת משתנים מתאימה.

 

5. נראה לי נכון. דוגמא מתאימה - פונקציית רימן עם 1- במקום אפס.

 

6. נראה לי נכון. פשוט כי ארקטגנס היא פונקציה חסומה והקטע סופי.

 

ותשמע, לתת רשימה של תשע שאלות ולצפות לקבל רשימה של פתרונות זה מעט מופרז.

בד"כ מומלץ לפחות לעבור שאלה שאלה עם שאלות ספציפיות.

נערך בתאריך יוני 22, 2013 - על-ידי אודי

[אודי]

לגבי סכומי רימן של האינטגרל עם שורש אחד ועוד סינוס:

 

א-ב. האינטגרנד הוא פונקציה עולה ולכן סכום רימן המקסימלי מתקבל כאשר לוקחים את ערך הפונקציה בקצה הימני של כל קטע ומכפילים באורך הקטע;

    הערך המינימלי מתקבל כאשר לוקחים את ערך הפונקציה בקצה השמאלי של כל קטע ומכפילים באורך כל קטע.

   מתקבל שהמקסימום הוא

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B5%7D+%5Csqrt%7B7%7D%7D%7B12%7D%5Cpi

והמינימום

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1+%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B12%7D%5Cpi

 

ג-ד. הסכום הקטן והגדול ביותר מתקבלים כמובן מהחלוקה הגסה ביותר של האינטגרל, "סכום רימן" של קטע אחד, שבו המינימום הגלובלי או המקסימום הגלובלי של הפונקציה בקטע מייצגים את הפונקציה.

כלומר, המינימום הגלובלי של סכום רימן הוא

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%7D

והמקסימום

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B7%7D%5Cpi%7D%7B6%7D

נערך בתאריך יוני 22, 2013 - על-ידי אודי

[riovelo]

אוקיי. תודה רבה על העזרה ומקבל את ההערתך לגבי מספר השאלות.