חדו"א 2 תרגיל

[Hela]

אני לא יודעת איך לגשת לשאלה הזאת ... אני קודם כול רציתי לסרטט את המשטח הזה אבל זה לא יוצא ליי ... 

 

תודה .. 

[Hela]

מישהו בבקשה

[אודי]

http://i182.photobucket.com/albums/x203/Udi_E/surf_zps15ffa479.jpg

 

הנה המשטח שלך.

גבולות האינטגרציה ל-x ול-z די ברורים, אבל האינטגרנד עצמו אמור להקבע לפי אינטגרל משטחי מסוג ראשון ואני פשוט לא זוכר איך מחשבים אותו

נערך בתאריך יוני 20, 2013 - על-ידי אודי

[אודי]

גבולות האינטגרציה ל-z  הם

http://www.codecogs.com/gif.latex?0%5Cleq%20z%5Cleq%5Cfrac%7Bx%5E%7B5%7D%7D%7B%5Csqrt%7B1+9x%5E%7B4%7D%7D%7D
 

ול-x (עליו את עושה אינטגרציה בסוף)

http://www.codecogs.com/gif.latex?1%5Cleq%20x%5Cleq2
 

[אודי]

אוקי, מצאתי את האינטגרנד שלך. מכיוון שהמשטח נתון ע"י פרמטריזציה ב-x וב-z מהצורה

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BS%7D(x,z)=(x,y(x),z)

 

נובע שאלמנט השטח dS הוא

http://www.codecogs.com/gif.latex?dS=%7C%5Cvec%7BS_x%7D%20%5Ctimes%20%5Cvec%7BS_z%7D%20%7C%5C,dx%5C,dz=%5Csqrt%7By_x%5E2+1%7D%5C,dx%5C,dz=%5Csqrt%7B9x%5E4+1%7D%5C,dx%5C,dz

אני מניח שאין פה טעות כי נראה שהשורש מתבטל עם המכנה בגבול העליון של z אחרי האינטגרציה ב-z.

התוצאה הסופית היא 10.5.

:oops:

נערך בתאריך יוני 21, 2013 - על-ידי אודי

[Ulman]

אהלן אודי ! אני גם תקוע על התרגיל הזה כבר כמה ימים ולא הצלחתי להבין את דרך הפתרון שאתה מציע. תוכל לפרט מה עשית ?

תודה רבה

[אודי]

האינטגרל הזה הוא אינטגרל משטחי מסוג ראשון. רעננתי את זכרוני, ונראה שהליך הפתרון הוא כזה:

 

1. צריך לבטא נקודה כללית על המשטח כפונקציה של שני משתנים בלתי תלויים. במקרה שלנו המשתנים המתאימים הם x ו-z, ומכיוון שנתון y=x^3 הביטוי המתאים לנקודה על המשטח הוא:

    http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BS%7D(x,z)=(x,x%5E3,z)

 

2. עכשיו צריך לחשב את השטח האינפיטיסימלי dS שעליו עושים אינטגרציה. הוא מוגדר כשטח של מקבילית אינפיטיסמלית בקואורדינטות הנ"ל על המשטח:

    http://www.codecogs.com/gif.latex?dS=%7C%5Cvec%7BS_x%7D%20%5Ctimes%20%5Cvec%7BS_z%7D%20%7C%5C,dx%5C,dz

    כאשר http://www.codecogs.com/gif.latex?%20%5Cvec%7BS_x%7D,%5Cvec%7BS_z%7D הן הנגזרות החלקיות של הוקטור S מהסעיף הקודם לפי x ו-z בהתאמה. קל לראות שמתקבל

    http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BS_x%7D=(1,3x%5E2,0)

    http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BS_z%7D=(0,0,1)

    ולכן    

   http://www.codecogs.com/gif.latex?%7C%5Cvec%7BS_x%7D%20%5Ctimes%20%5Cvec%7BS_z%7D%20%7C=%5Csqrt%7B9x%5E4+1%7D

 

3. עכשיו צריך לחשוב על גבולות האינטגרציה. במקרה של x די ברור שהם 1 ו-2; במקרה של z הם אפס והפונקציה הנתונה f, שהצבנו בה y=x^3, כלומר:

    http://www.codecogs.com/gif.latex?1%5Cleq%20x%5Cleq2

    http://www.codecogs.com/gif.latex?0%5Cleq%20z%5Cleq%5Cfrac%7Bx%5E%7B5%7D%7D%7B%5Csqrt%7B1+9x%5E%7B4%7D%7D%7D

 

4. השטח הכולל הוא פשוט האינטגרל על dS שמצאנו בגבולות האלו.

    http://www.codecogs.com/gif.latex?S=%5Cint%20dS=%5Cintop_%7B1%7D%5E%7B2%7D%5Cintop_%7B0%7D%5E%7B%5Cfrac%7Bx%5E%7B5%7D%7D%7B%5Csqrt%7B1+9x%5E%7B4%7D%7D%7D%7D%5Csqrt%7B1+9x%5E%7B4%7D%7D%5C,%20dx%5C,%20dz
 

    מתחילים מאינטגרציה טריוויאלית על z, שאחריה האינטגרנד המקורי מצטמצם עם המכנה של הגבול העליון. נשאר אינטגרל על x^5 בין 1 ל-2. התוצאה היא לא 31, כמובן, אלא http://www.codecogs.com/gif.latex?64/6-1/6=63/6=10.5

[Ulman]

שמע אתה פשוט תותח :) תודה על הכל !!!

[giladyo]

אפשר להבין איך האינטגרנד אמור להצטמצם עם הגבול העליון אחרי האינטגרציה על z?

[אודי]

המכנה של הגבול העליון ב-z הוא האינטגרנד.

[giladyo]

אתה יכול לפרט בבקשה את החישוב? תודה 

[אודי]

אני מאוד מצטער, אבל כבר פרטתי את החישוב. פעמיים

אני אחזור לאט יותר על השלב שבו האינטגרנד המקורי של האינטגרל מצטמצם:

 

4. השטח הכולל הוא פשוט האינטגרל על dS שמצאנו בגבולות האלו.

    http://www.codecogs.com/gif.latex?S=%5Cint%20dS=%5Cintop_%7B1%7D%5E%7B2%7D%5Cintop_%7B0%7D%5E%7B%5Cfrac%7Bx%5E%7B5%7D%7D%7B%5Csqrt%7B1+9x%5E%7B4%7D%7D%7D%7D%5Csqrt%7B1+9x%5E%7B4%7D%7D%5C,%20dx%5C,%20dz

 

אתה עושה אינטגרציה על z. שים לב שהאינטגרנד של האינטגרל לא תלוי כלל ב-z, ולכן תוצאת האינטגרציה ב-z היא פשוט הגבול העליון פחות הגבול התחתון (או אינטגרל על יחידה).

 

    http://www.codecogs.com/gif.latex?S=%5Cintop_%7B1%7D%5E%7B2%7D%5Cintop_%7B0%7D%5E%7B%5Cfrac%7Bx%5E%7B5%7D%7D%7B%5Csqrt%7B1+9x%5E%7B4%7D%7D%7D%7D%5Csqrt%7B1+9x%5E%7B4%7D%7D%5C,%20dx%5C,%20dz=%5Cintop_%7B1%7D%5E%7B2%7D(%5Cfrac%7Bx%5E%7B5%7D%7D%7B%5Csqrt%7B1+9x%5E%7B4%7D%7D%7D-0)%5Csqrt%7B1+9x%5E%7B4%7D%7D%5C,%20dx=%5Cintop_%7B1%7D%5E%7B2%7Dx%5E5%5C,dx

 

אני מקווה שבשלב הזה כבר ברור מה מצטמצם ולמה.

 

אם יש לך שאלה ספציפית על אחד מהשלבים שקדמו ל-4 אני אשמח לענות, אבל אני לא חושב שיש טעם להסביר את כל החישוב פעם שלישית.

נערך בתאריך יוני 22, 2013 - על-ידי אודי

[giladyo]

אוקיי אוקיי... הבנתי את הטעות שלי... תודה רבה לך!!!!