למשהוא יש רעיון להוכחה קצרה?

[TheLady]

אני חושבת שזה לא נכון אבל לא יודעת איך להוכיח

 

אני יודעת כי:

 

טרנספורמציה לינארית http://upload.wikimedia.org/math/4/b/a/4baf5fd2bacc9d6b85900a2589f066ed.png מהמרחב הווקטורי V אל עצמו היא לכסינה אם קיים בסיס http://upload.wikimedia.org/math/8/f/b/8fb7f0ff9bf81cbce8809e1718098192.png של V, ש-T פועלת על כל רכיביו כמו כפל בסקלר; דהיינו קיימים סקלרים http://upload.wikimedia.org/math/e/5/2/e52866bfe1cdf3e1c4133adb178095bd.png, שעבורם http://upload.wikimedia.org/math/c/f/b/cfbf4f221836093d32a4188420aadcc6.png. טרנספורמציה היא לכסינה אם ורק אם קיימת לה מטריצה מייצגת לכסינה; ובמקרה כזה כל מטריצה מייצגת שלה היא לכסינה.

[אודי]

לי זה דווקא נראה נכון.  ההוכחה עבור מטריצה מייצגת ממימד כללי מעט מייגעת, אבל אני חושב שהיא תקפה.

 

1. נכתוב את המטריצה המייצגת של הטרנספורמציה. היא מורכבת מעמודות שהן הטרנספורמציה של הבסיס. מכיוון ש:

http://www.codecogs.com/gif.latex?T(v_1)=v_1

http://www.codecogs.com/gif.latex?T(v_2)=v_1+v_2

...

http://www.codecogs.com/gif.latex?T(v_%7BN%7D)=%7B%5Cdisplaystyle%20%7B%5Cdisplaystyle%20%5Csum_%7Bi=1%7D%5E%7BN%7D%7D%7Dv_%7Bi%7D
 

המטריצה המייצגת A היא מהצורה:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccccccccc%7D1%20&%201%20&%201%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%201%20&%201%20&%201%5C%5C0%20&%201%20&%201%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%201%20&%201%20&%201%5C%5C0%20&%200%20&%201%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%201%20&%201%20&%201%5C%5C.%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%20.%5C%5C.%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%20.%5C%5C.%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%20.%5C%5C0%20&%200%20&%200%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%201%20&%201%20&%201%5C%5C0%20&%200%20&%200%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%200%20&%201%20&%201%5C%5C0%20&%200%20&%200%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%200%20&%200%20&%201%5Cend%7Barray%7D%5Cright)

 

2. קל לראות (ע"י חיסור מטריצת היחידה מהמטריצה הזו) ש-1 הוא ע"ע של המטריצה הזו, כי http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clambda%20I-A לא הפיכה ולכן קיים פתרון לא טריוויאלי ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?(%5Clambda%20I-A)%5Cvec%7Bv%7D=0.

 

3. הריבוי האלגברי של הע"ע הוא N (ניתן לראות ע"י חישוב הדטרמיננטה של http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clambda%20I-A, שקלה לחישוב אם מחסרים מכל שורה את השורה העוקבת).

 

4. לעומת זאת, הריבוי הגיאומטרי של הע"ע הוא 1 בלבד. ניתן לראות ע"י פתרון http://www.codecogs.com/gif.latex?(%5Clambda%20I-A)%5Cvec%7Bv%7D=0 באינדוקציה. משורה N-1 נובע שהרכיב ה-N של v מתאפס. מהצבתו בשורה N-2 נובע שהרכיב ה-N-1 של v מתאפס. וכן הלאה וכן הלאה, עד שאת מקבלת שהרכיב היחידי שלא חייב להתאפס הוא הראשון ולכן הע"ע היחידי של המטריצה הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?(1,0,0,0,...,0).

 

5. קבלנו שהריבוי הגיאומטרי קטן מהריבוי האלגברי ולכן המטריצה לא לכסינה.

נערך בתאריך יוני 17, 2013 - על-ידי אודי

[אודי]

3. הריבוי האלגברי של הע"ע הוא N (ניתן לראות ע"י חישוב הדטרמיננטה של http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clambda%20I-A, שקלה לחישוב אם מחסרים מכל שורה את השורה העוקבת).

טוב, זה לא כ"כ קל לחישוב. נשאר שם למבדה טורדני ליד האלכסון הראשי. עדיין אפשר להוכיח באינדוקציה שהדטרמיננטה של הדבר הזה היא http://www.codecogs.com/gif.latex?(%5Clambda-1)%5EN, פשוט כי כל דטרמיננטה מכילה מכפלה של למבדה מינוס אחד בדטרמיננטה של המטריצה הקודמת בסדרה + מכפלה של מינוס למבדה בדטרמיננטה שאמורה להיות אפס טריוויאלית. כי היא של מטריצה עם עמודת אפסים.

8-[

ייתכן שלעשות את כל ההוכחה באינדוקציה יצא קצר יותר, כי ההוכחה עבור 2X2 קלה מאוד ואז צריך רק לקשר בין מטריצה NXN למטריצה N+1XN+1.

נערך בתאריך יוני 17, 2013 - על-ידי אודי

[TheLady]

אודי תודה על העזרה  :hello2:

[אודי]

על לא דבר

:)