שלום, אשמח לעזרה בשתי שאלות בחדו"א בנגזרות. תודה מראש

[riovelo]

אוקי, אז לגבי השאלה הראשונה: בסעיף א' לדוגמא, אני כותב את הגדרת הנגזרת h' . אבל מתקבל לי ביטוי עם  f' שאני לא יודע לטפל בו. כנ"ל לגבי סעיף ב'.
לגבי השאלה השנייה: זה נראה לי נכון, אבל אני לא יודע להוכיח את זה. אני יודע להוכיח רק את הכיוון השני, שאם f זוגית אז f' אי זוגית.


 

[ohad]

לגבי השאלה הראשונה סעיף א':

יש לך 0 חלקי 0, אתה מפעיל לופיטל ומקבל נגזרת של f ב0 שקיימת לפי הנתון,

לכן הנגזרת המקורית קיימת ושווה לה (לא בקשו ממך לחשב את הנגזרת אלא שאלו אם היא גזירה).

 

זה עוזר לך גם בב' לא?

[riovelo]

לגבי השאלה הראשונה סעיף א':

יש לך 0 חלקי 0, אתה מפעיל לופיטל ומקבל נגזרת של f ב0 שקיימת לפי הנתון,

לכן הנגזרת המקורית קיימת ושווה לה (לא בקשו ממך לחשב את הנגזרת אלא שאלו אם היא גזירה).

 

זה עוזר לך גם בב' לא?

לא יצא לי ככה. עשית הגדרת הנגזרת של h(x) בנק' 0 ובנקודה ששואפת ל-0 אבל יצא לי מצב של ביטויים שלא מצטמצמים.

[ohad]

צודק, זה מה שעלה בחכתי (אם אני טועה מוזמנים לתקן אותי, לא סגור ב100% שאפשר לעשות את המעבר הרביעי):

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?h'(0)=%5Cunderset%7Bx%5Crightarrow0%7D%7B%5Clim%7D%5Cfrac%7Bh(x)-h(0)%7D%7Bx-0%7D=%5Cunderset%7Bx%5Crightarrow0%7D%7B%5Clim%7D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7Bf(x)%7D%7Bx%7D-f'(0)%7D%7Bx%7D=%5Cunderset%7Bx%5Crightarrow0%7D%7B%5Clim%7D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7Bf(x)-f(0)%7D%7Bx%7D-f'(0)%7D%7Bx%7D=%5Cunderset%7Bx%5Crightarrow0%7D%7B%5Clim%7D%5Cfrac%7Bf'(0)-f'(0)%7D%7Bx%7D=0

[riovelo]

צודק, זה מה שעלה בחכתי (אם אני טועה מוזמנים לתקן אותי, לא סגור ב100% שאפשר לעשות את המעבר הרביעי):

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?h'(0)=%5Cunderset%7Bx%5Crightarrow0%7D%7B%5Clim%7D%5Cfrac%7Bh(x)-h(0)%7D%7Bx-0%7D=%5Cunderset%7Bx%5Crightarrow0%7D%7B%5Clim%7D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7Bf(x)%7D%7Bx%7D-f'(0)%7D%7Bx%7D=%5Cunderset%7Bx%5Crightarrow0%7D%7B%5Clim%7D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7Bf(x)-f(0)%7D%7Bx%7D-f'(0)%7D%7Bx%7D=%5Cunderset%7Bx%5Crightarrow0%7D%7B%5Clim%7D%5Cfrac%7Bf'(0)-f'(0)%7D%7Bx%7D=0

אוקי, תודה רבה, עזרתי לי מאוד.

יש לך מושג איך לפתור את השני?

[אודי]

http://www.codecogs.com/gif.latex?f(-x)=f(0)+%5Cintop_%7B0%7D%5E%7B-x%7Df'(x')dx'=f(0)-%5Cintop_%7B0%7D%5E%7B-x%7Df'(-x')dx'=f(0)+%5Cintop_%7B0%7D%5E%7Bx%7Df'(y)dy=f(x)

המעבר הראשון והמעבר האחרון נובעים מרציפות הפונקציה והגדרה (אם הפונקצייה גזירה היא בהכרח גם רציפה, למרות שלא נאמר במפורש שהיא גזירה באפס).

במעבר בין צעד 2 ל-3 השתמשתי באי זוגיות של הנגזרת

במעבר בין צעד 3 ל-4 עשיתי החלפת משתנים http://www.codecogs.com/gif.latex?y=-x'

נערך בתאריך יוני 16, 2013 - על-ידי אודי

[incog]

אוהד, מה שכתבת כמובן לא נכון. אתה לא יכול לקחת רק גבול על המונה ורק אחרי זה לקחת גבול על המכנה 

(תסתכל לדוגמא על הפונקציה x/x לפי הדרך שלך הגבול שלה הוא אפס).

 

הדרך לפתור את 1 שאני חשבתי עליה:
לפי משפט טיילור (נתון שהפונקציה גזירה 2 פעמים ברציפות) אתה יודע ש:
f(x)=f(0)+xf'(0)+x^2f''(0)/2+h(x)
כך ש:  h(x)/x^2  שואפת ל-0 כש- x שואף לאפס.

לכן:  f(x)/x-f'(0)]/x]
זה שווה ל:
f''(0)/2+h(x)/x^2  וזה שואף ל-f''(0) כש- x שואף ל-0.

לכן הנגזרת קיימת והיא שווה ל-f''(0)/2

 

 

אודי:

שים לב שהנחת ש- f(0)=0... ובדיוק בגלל הקבוע הזה התשובה היא שזה לא בהכרח נכון.

דוגמא נגדית:  cosx+10
 

[אודי]

לא הנחתי ש-f(0)=0.

http://www.codecogs.com/gif.latex?f(0) מתבטלת עם הגבול התחתון של האינטגרל המסויים שלי.

 

cos(x)+10 היא פונקציה זוגית לחלוטין. כי קוסינוס זוגית וגם 10 כן:

http://www.codecogs.com/gif.latex?cos(x)=cos(-x)

http://www.codecogs.com/gif.latex?10(x)=10(-x)=10

 

...מה שהנחתי הוא שהפונקצייה רציפה באפס, ויש פונקציות זוגיות עם נגזרת אי זוגית שלא רציפות באפס.

אבל אמרו בנתון שהיא גזירה (במשתמע, גם באפס), אז נראה לי בסדר להסיק שהיא רציפה ב-0 (אם היא גזירה היא רציפה)

נערך בתאריך יוני 16, 2013 - על-ידי אודי

[incog]

כן, אתה כמובן צודק.

אני התבלבלתי בין זוגי לאי זוגי.

[ohad]

אוהד, מה שכתבת כמובן לא נכון. אתה לא יכול לקחת רק גבול על המונה ורק אחרי זה לקחת גבול על המכנה (תסתכל לדוגמא על הפונקציה x/x לפי הדרך שלך הגבול שלה הוא אפס).

כמובן שאתה צודק שאני טועה