למשהוא יש רעיון ?

[TheLady]

אם T:V->U העתקה ליניארית, V ו - U ממימד סופי, ומימד U הוא 1/3 ממימד V, אז T לא חח"ע.

 

אם נכון אז להוכיח ואם לא להפריך .

[אודי]

זה נכון.

הוכחות לא עשיתי שנים, אז זה כנראה לא יהיה מהוקצע ריגורוזית, אבל זה נשמע לי כמו כיוון טוב -

ניקח בסיס של V ממימד M. יש לנו בו M וקטורים בלתי תלויים ליניארית.

נסתכל על M הטרנספורמציות של וקטורי הבסיס. הן חייבות להיות תלויות ליניארית, כי מימד U קטן ממימד V.

ספציפית מ-M הטרנספורמציות חייב להיות ב-U לפחות* וקטור אחד http://www.codecogs.com/gif.latex?T(v_i) שהוא קומבינציה ליניארית כלשהיא של טרנספורמציות וקטורי בסיס אחרים http://www.codecogs.com/gif.latex?T(v_i)=L(T(%5Cvec%7Bv%7D)) (אני מסמן פה באופן כללי את וקטורי הבסיס האחרים שהוא קומבינציה שלהם כ-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bv%7D. זה לא כל השאר).

מכיוון שגם הטרנספורמציה ליניארית, נובע ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?T(L(%5Cvec%7Bv%7D))=T(v_i), כלומר קבלנו שני וקטורים שונים במרחב המקורי (http://www.codecogs.com/gif.latex?v_i ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?L(%5Cvec%7Bv%7D)) שעוברים לאותו וקטור במרחב החדש (http://www.codecogs.com/gif.latex?T(v_i)) והטרנספורמציה לא חח"ע.

 

* למעשה אנחנו יודעים שקיימים לפחות 2M/3 וקטורים שהטרנספורמציות שלהן תלויות, אבל זה לא עקרוני להוכחה

נערך בתאריך יוני 12, 2013 - על-ידי אודי

[TheLady]

תודה על התשובה הנהדרת :)