אלגברה מודאנית

[littlerunaway]

רק סעיף ה' בשאלה הבאה: 

http://i.imgur.com/Pu6dlKa.jpg

 

אם אני לא טועה אז ההעתקה היא אכן הומומורפיזם. אבל אני מסתבכת עם הגרעין, וכל עיניין החח"ע ועל. למי בא לעזור? 

[incog]

.

[littlerunaway]

לא הבנתי למה זה לא הומומורפיזם

[incog]

טוב אני מתנצל, אני צריך לקרוא את השאלות כשאני יותר מרוכז.

את כמובן צודקת וזה אכן הומומורפיזם.

הגרעין:
כל האיברים שאם תעלי אותם בחזקת n יהיו שווים לאיבר היחידה, כלומר כל האיברים שהסדר שלהם מחלק את n.

חח"ע- אמ"מ הגרעין לא טריוויאלי ולפי מה שאמרנו מקודם זה קורה אמ"מ אין איבר מסדר שמחלק את n.

אפשר לתת תשובה יותר מדויקת, אבל אני לא בטוח שזה יעזור לך:
אם G אבלית אזי היא מהצורה: H+L  (זה סכום ישר), כך ש- H איזומורפית ל- Z^m ו- L סופית.

אז ההעתקה חח"ע אמ"מ הגודל של L זר ל- n 

 

על- אמ"מ לכל איבר יש שורש n 

[littlerunaway]

אז זהו, כשאתה אומר "על- אמ"מ לכל איבר יש שורש n" זה די ברור, אבל השאלה אם אני אמורה בעצם להראות שיש/אין שורש כזה לכל איבר. או שמספיק ככה כי לא ידועה לי מה החבורה? 

ולא הבנתי את 2 השורות הלפני אחרונות 

[incog]

את לא יכולה להראות כי זה תלוי בחבורה.

יש חבורות שעבורן זה נכון לדוגמא חבורת שורשי היחידה, ויש חבורות שעבורן זה לא נכון לדוגמא Z.

 

שתי השורות האחרונות זה משפט שאני כמעט בטוח שלא למדת.

אם זה מעניין אותך את יכולה להסתכל פה:
http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%97%D7%91%D7%95%D7%A8%D7%94_%D7%90%D7%91%D7%9C%D7%99%D7%AA_%D7%A0%D7%95%D7%A6%D7%A8%D7%AA_%D7%A1%D7%95%D7%A4%D7%99%D7%AA

 

המשפט הזה (שהוא מאוד חשוב בתורת החבורות) אומר שאת יכולה לפרק כל חבורה אבלית נוצרת סופית לסכום ישר של שתי חבורות אחת סופית ואחת חופשית (את יכולה לקרוא בויקי מה זו חבורה חופשית).

ההומומורפיזם הוא חח"ע אמ"מ הוא חח"ע על תת החבורה הסופית.

ועל פי משפט קושי במקרה הזה הוא יהיה חח"ע אם הגודל של תת החבורה זר ל- n 

(אחרת יש להם מחלק משותף ראשוני p ועל פי משפט קושי יש איבר מסדר p ולכן אותו איבר יהיה בגרעין).

 

 

בכל אופן, אני חושב שבתשובה שביקשו ממך מספיק לכתוב את הקריטריון שכתבתי לכך שהגרעין לא ריק...

[littlerunaway]

האם זה נכון בחבורות?

a^n b^n=(ab)^n

 

כי אני לא זוכרת שזו הייתה אחת מהתכונות

[incog]

זה נכון רק עבור חבורות אבליות
(אפשר להוכיח את זה בקלות באינדוקציה על n וזה נובע מאסוציטיביות וקומטטיביות)

[littlerunaway]

הבנתי. אז אם לא היו אומרים לנו שהחבורה אבלית, זה בעצם לא היה בהכרח הומומורפיזם.

מה עם סעיף א' בשאלה הזאת? 

http://i.imgur.com/QzECJ9u.jpg

[incog]

אכן, אם החבורה לא אבלית זה לא בהכרח הומומורפיזם.

 

לגבי סעיף א', התשובה היא שלא קיים:
אם היה קיים כזה אז נסמן את התמונה של ההומומורפיזם ב-K , מצד אחד ממשפט האיזו הראשון את יודעת של הסדר של K מחלק את הסדר של G.

מצד שני הסדר של K מחלק את את הסדר של G'  (זו תת חבורה), לכן מכיוון שהסדרים זרים בהכרח הסדר של K שווה ל-1 (כלומר K חבורה טריוויאלית ולכן זהו הומומורפיזם טריווילאי).

[littlerunaway]

שאלה: (אני מפגרת בחומר באיזו 2 הרצאות, לכן כל השאלות).אם יש לי 2 חבורות שהן איזומורפיות אחת לשנייה זה אומר שסדר החבורות (מספר האיברים) הוא זהה (כי ההעתקה היא חח"ע ועל)?

[incog]

כן.

זה בכלל לא קשור לתורת החבורות אלא לקבוצות. אם יש לך פונקציה חח"ע ועל בין שתי קבוצות סופיות אז הן באותו גודל (איזומורפיזם הוא בפרט פונקציה חח"ע ועל בין קבוצות)