חדו"א 2 שאלה . .

[Hela]

בא' אני צריכה קודם כול לכתוב את הפונקציה כ f(x,y,z)=0 ולמצוא את Z וכך אנחנו מוצאים שהנקודה ( 1,2,Z) (Z שאנחנו נמצא על ידי הצבה) .

ואחר כך להגיד שלפונקציה יש נגזרות חלקיות רציפות כי היא פונקציה אלמנטרית. ואחר כך לגזור את הפונקציה לפי Z ולראות שהיא לא שווה ל 0 וכך אנחנו מוכיחים שפונקציה Z מוגדרת באופן יחיד.

 

בב' אני יודעת שהפונקציה http://www.codecogs.com/gif.latex?e%5Ez=1-z+z%5E2/2+R2 עכשיו הפונקציה http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x,y,z)%20=%20e%5Ez+2x+y%5E2-xy+z-5

ולכן פולינום טיילור יהיה: http://www.codecogs.com/gif.latex?1-z+z%5E2/2+2x+y%5E2-xy+z-5 וזה שווה : http://www.codecogs.com/gif.latex?1+z%5E2/2+2x+y%5E2-xy-5

ואני צריכה להציב (1,2) ....

 

האם זה נכוון ?תודה רבהה

[אודי]

שני הסעיפים נראים לי שגויים.

א. את לא יכולה לטעון שהפונקציה Z אלמנטרית. מהצבת x,y את מקבלת שבנקודה זו Z מקיימת משוואה סתומה:

http://www.codecogs.com/gif.latex?e%5Ez=1-z

את יכולה לטעון שיש למשוואה הזו פתרון יחיד בנקודה (Z=0) מכיוון שזו נקודת החיתוך היחידה בין האגפים, אבל הפונקצייה Z עצמה לא חייבת להיות יחידה.

 

ב. מה שרשמת פה הוא לא פיתוח טיילור מסדר שני מסביב לנקודה (1,2). כדי לרשום אותו את צריכה לחשב את הנגזרות החלקיות של Z לפי X ולפי Y בנקודה הזו עד סדר שני.

...למרבה המזל יש לך את כל מה שצריך כדי לחשב את הנגזרות מגזירה של המשוואה הסתומה המקורית. את גוזרת את Z ואת האקספוננט של Z באמצעות כלל השרשרת, ואחרי שאת מסיימת לגזור (פעם או פעמיים) מציבה את ערכי X,Y,Z בנקודה כדי להיפטר מכל מה שאינו הנגזרת החלקית שאת מעוניינת לחשב. את מחשבת את הנגזרות לפי הסדר כדי שיהיו לך את המספרים להציב בחישוב של הנגזרת הבאה בתור (אבל כמובן שאת גוזרת נגזרות שניות מהמשוואה הסתומה לפני הצבה)

נערך בתאריך מאי 22, 2013 - על-ידי אודי

[אודי]

...והקטע החסר בסעיף א' - את לא צריכה להוכיח ש-z חייבת להיות גזירה ברציפות (זה גם לא נכון. למשל http://www.codecogs.com/gif.latex?z=%7Cx-1%7C+%7Cy-2%7C מקיימת את המשוואה אבל לא גזירה ברציפות ולא נעליים).

את צריכה להראות שקיימת z שגזירה ברציפות, וזה קל מאוד באמצעות דוגמא. למשל http://www.codecogs.com/gif.latex?z=(x-1)%5E2+(y-2)%5E2

:)

נערך בתאריך מאי 22, 2013 - על-ידי אודי

[Hela]

בא' מצאנו ש f(1,2,1)=0 וכאשר גוזרים את הפונקציה f(x,y,z) לפי Z ומציבים Z=0 מקבלים 2 שזה לא שווה לאפס ולכן היא מוגדרת באופן יחיד כאילו זה מה שאנחנו צריכים להוכיח פה לא? שZ מוגדרת באופן יחיד .. (זה כמובן אחרי שהצבתי בפונקציה את X ו Y וקיבלתי את Z בטוח שכאשר אציב את שלושתם אקבל אפס) האם ככה אני מוכיחה?

[אודי]

איפה את רואה את המילה "יחידה" בשאלה?

:scratch:

...וכבר מצאתי לך שתי פונקציות שמקיימות את המשוואה, אז כמובן שאין סיבה להניח שיש יחידות פה.

[Hela]

בא' אני פשוט צריכה לתת דוגמא שמקיימת לי ש z(1,2)=0 ???

[אודי]

יאפ. "קיימת פונקציה", לא "קיימת פונקציה יחידה". כאמור זו גם לא פונקציה יחידה, יש לפחות שתיים

יחידות קיימת אם כל הנגזרות והערך של הפונקציה מוגדרים באופן חד ערכי בנקודה, וגם זה רק בבעיות מסויימות.

...וכמובן שהנגזרת של הפונקציה לפי עצמה לא רלוונטית ליחידות.

[Hela]

תודה רבה 

 

יש לי שאלה השתגעתיי כבר ממנה !!! אני לא יודעת מה לעשות !!

 

עשיתי הכול לפי הכללים!!!

קודם כול גזרתי לפי X וגזרתי לפי Y והשוויתי לאפס וקיבלתי http://www.codecogs.com/gif.latex?(1,0) שהערך של הפונקציה בה יהיה -4 

עכשיו הצבתי Y שווה לאפס וגזרתי לפי X על מנת למצוא על נקודות אקסטרמום על השפה ומצאתי את אותה נקודה (1,0) וכאשר הצבתי X שווה 0 וגזרתי לפי Y קיבלתי 0 לכן יש עוד נקודה שהיא 0,0. 

עכשיו אני עושה לפי האילוץ וכופלי לגרנז אני מקבלת נקודה שהיא http://www.codecogs.com/gif.latex?(38/14,%20192/84) והערך שלה בפונקציה יהיה 164/7 

 

התשובות שלי היו שיש נקודה אחת שהיא בפנים התחום ונקודה אחת על שפת התחום והערך הכי גדול הוא 164/7 והכי קטן הוא -4 וזה לא נכוןן :( 

[אודי]

בדקת לאיזה סוג של נקודת קיצון משתייכת הנקודה שקבלת בעזרת כופלי לגרנז' על השפה?

 

אני לא יודע אם החישוב שלך עם כופלי לגרנז' נכון, אבל הפונקצייה יכולה לקבל על השפה ערך גבוה יותר בנקודה שפורמלית אינה נקודת קיצון (במובן זה שהגרדיינט לא מתאפס שם).

למשל, בנקודה (0,5) הפונקציה שלך מקבלת את הערך 75 שגבוה יותר מהערך שציינת כערך הכי גדול.

...אם אני זוכר נכון, כן היית אמורה לעלות על הנקודה הזו בעזרת כופלי לגרנז'.

 

[Hela]

הנקודה שמצאתי עם כופלי לגרנז' היא מינימום אבל בשביל מה אני צריכה את זה? 

ולא יכולתי למצוא דרך כופלי לגרנז' את הנקודה 0,5 היא לא נחשבת למקסימום או מינימום גלובלי אז איך אני יכולה להתיחס אליה כאל ערך גדול או קטן או שזה לא קשור?

[אודי]

אם הנקודה שמצאת בעזרת כופלי לגרנז' היא מינימום אז לא סביר שהיא נותנת את הערך הגדול ביותר של הפונקציה.

לגבי 75=(0,5)f, היא ערך גדול. את יכול לראות שהפונקציה מונוטונית עולה לאורך השפות שהנקודה הזו נמצאת בקצה שלהן*

אני חושד שהיית מוצאת את הנקודה הזו אם היית מתחשבת ב-http://www.codecogs.com/gif.latex?x,y כאילוצים נוספים בעזרת כופלי לגרנז', אבל אני באמת כבר לא זוכר את הפרטים האלו.

 

*עריכה: טוב, על השפה האלכסונית היא לא מונוטונית עולה כי יש מינימום כאמור, אבל היא מונוטונית עולה גם עליה מהמינימום.

נערך בתאריך מאי 23, 2013 - על-ידי אודי

[Hela]

אז אתה אומר לי בעצם שיש בסך הכול 5 נקודות והם: 

 

(5,0)

(0,5)

(1,0)

(0,0)

(138/14,192/84)

 

את (1,0) אני מצאתי באמצעות איפוס הגרדיאנט , את (0,0) מצאתי באמצעות הצבת X שווה אפס וגזירה לפי Y ואת 5,0 ו 0,5 באמצעות התחשבות בשפה וכופלי לגרנז' אני מקבלת (138/14,192/84) אבל לא יוצא לי שזה נכון אני כתבתי שיש 4 נקודות על השפה ונקודה אחת בתוך התחום וש 75 זה הערך הכי גדול וש -4 הערך הכי קטן ויצא לי 90 וזה היה הניסיון האחרון שלי .

אבל זה לא משנה אני צריכה לדעת רק למה זה לא נכוון עדיין :( 

תודה

[Hela]

אז רגע .. חמשת הנקודות שמצאתי עם על השפה ונקודה אחת שהיא (1,0) נמצאת בתוך התחום ( שמצאתי לפי איפוס הגרדיאנט)  אני צודקת ? מפה הטעות?

[אודי]

אבל לא אמרתי בשום שלב שכל הקודקודים של השפה חשודים כאקסטרמום.

בפרט (0,0) לא חשודה כאקסטרמום כי אפשר לראות שהיא נקודת אוכף, אפילו אם מסתכלים על התחום המוגדר בלבד.

אם את נעה ממנה לאורך ציר y את מקבלת פונקציה עולה ואם את נעה לאורך ציר x הפונקציה יורדת עד המינימום ב-(1,0).

לא ברור לי אם (5,0) נחשבת חשודה לאקסטרמום או לא, כי היא מקסימום מקומי בתחום אבל לא גלובלי (כאמור, (0,5) נותנת ערך גדול יותר).

אני חושב שהתשובה אם צריך לכלול אותה כ"חשודה" או לא תלויה בתוצאות החישוב של כופלי לגרנז' עם כל האילוצים.

כך שהתשובה לסעיף השני ב-א' היא 2 או 3, לא 4.

[Hela]

אני נסיתי את 2 ו 3 ולא יצא לי שזה נכון ....

[אודי]

לא הבנתי. ניסית את 2,3 עם 75 כערך גבוה ביותר ויצא לך שעדיין יש שגיאה?

[Hela]

כן

[Hela]

השאלה היא האם בא' הנקודות הקריטיות שהם בפנים התחום הם רק נקודה אחת או 0 נקודות כי ראינו שכול הנקודות על השפה ...

[Hela]

אני חושב שהתשובה אם צריך לכלול אותה כ"חשודה" או לא תלויה בתוצאות החישוב של כופלי לגרנז' עם כל האילוצים.

.

אני כבר עשיתי לפי לגרנז' וקיבלתי רק נקודה אחת שהיא ( 138/14, 192/84 ) את  הנקודות שעל השפה אני פשוט הצבתי פעם Y שווה 0 ופעם איקס שווה 0 וקבלתי שתי נקודות 0,5 ו 5,0 

[אודי]

אני חושב שהתחשבת רק באילוץ אחד, y+x=5.

ונכון, אין נקודה בתוך התחום.

[Hela]

אז בעצם הנקודות הקריטיות שעל השפה הם: (138/14,192/84) (1,0) ??

[אודי]

ו-(0,5).

[Hela]

אבל אתה אמרת שאולי היא לא נחשבת כי לא יצאה לי בכופלי לגרנז' ?

[אודי]

אני אמרתי שהיא היתה צריכה לצאת לך בכופלי לגרנז' אם היית מכניסה את כל האילוצים

היא בבירור מקסימום בתחום.

[Hela]

http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x,y)=4x%5E2+3y%5E2-8x

http://www.codecogs.com/gif.latex?g(x,y)=4x%5E2+3y%5E2-8x+%5Clambda%20(x+y-5)

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cpartial%20g%7D%7B%5Cpartial%20x%7D=8x-8+%5Clambda%20=0

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cpartial%20g%7D%7B%5Cpartial%20y%7D=6y+%5Clambda=0

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cpartial%20g%7D%7B%5Cpartial%20%5Clambda%20%7D=x+y-5=0

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clambda%20=-6y

http://www.codecogs.com/gif.latex?8x-8=6y

http://www.codecogs.com/gif.latex?6x+6y=30

http://www.codecogs.com/gif.latex?8x-8+6x=30

http://www.codecogs.com/gif.latex?x=30/14

http://www.codecogs.com/gif.latex?y=192/84

 

זה מה שעשיתי לפי כופלי לגרנז' .. האם מה שעשיתי נכון או שחסר לו משהו ?

[אודי]

חשבתי על זה עוד קצת, בדקתי שוב את ההגדרה של כופלי לגרנז' ונראה לי שאני חוזר בי מחלק ממה שאמרתי קודם, ובפרט מ:

 

אבל לא אמרתי בשום שלב שכל הקודקודים של השפה חשודים כאקסטרמום.

אני אמרתי שהיא היתה צריכה לצאת לך בכופלי לגרנז' אם היית מכניסה את כל האילוצים

 

נראה לי שבאמת אי אפשר לכסות את הפינות עם כופלי לגרנז', כי את צריכה שני אילוצים ואז תקבלי אוטומטית שהנקודה היא נקודת קיצון, גם אם זה לא נכון (למשל, (0,0)).

בפרט, הנקודה ששכחתי היא שכופלי לגרנז' עובדים רק כשהחיתוך של שני אילוצים הוא לא נקודה.

 

אם כך, כל הפינות חשודות אוטומטית כנקודות קיצון פשוט כי אי אפשר לבדוק אותן בעזרת כופלי לגרנז';

כשבודקים כל פינה לגופה רואים ש-(0,0) אינה נקודת קיצון (אוכף), (0,5) היא מקסימום גלובלי בתחום הנתון ו-(5,0) היא מקסימום מקומי בתחום.

...אז יש 5 נקודות שחשודות כנקודות קיצון על שפת התחום, 0 בתוך התחום, ו-70 הוא הערך הגבוה ביותר של הפונקציה בתחום.

עכשיו מסתדר?

8-[

אני מתנצל, פשוט לא זכרתי את הקטע של הפינות.

נערך בתאריך מאי 24, 2013 - על-ידי אודי

[Hela]

תודה רבה !!

כולל (0,0)  ?? 

[אודי]

(0,0), אם אני מבין נכון -

א. נספרת ב"חשודה" כאקסטרמום בגלל שהיא נמצאת בפינה ואי אפשר לבדוק אותה עם כופלי לגרנז';

ב. בפועל לא נקודת קיצון, בגלל שאפשר לראות שהיא אוכף.