חדו"א 2

[Hela]

אני חשבתי פה על הכפלה במונה והעברת אגפים ואז אפשר לגזור את הפונקציה לפי X וואי אבל משום מה זה נראה לי לא נכן ולא חוקי 

 

עזרה בבקשה ..

[Hela]

מישהו בבקשה

[אודי]

את לא יכולה להכפיל לא במונה ולא במכנה כי שניהם שואפים לאפס.

 

...בבירור מי שאת יכולה לגזור ולמצוא מה יש לו בנקודה הנ"ל הוא הפולינום, לא הפונקציה.

את צריכה רק להצדיק אח"כ למה המינימום והמקסימום של הפולינום הם גם המינימום והמקסימום של הפונקציה.

 

אני חושב שאפשר לעשות זאת כי מהגבול הנתון את יכולה להראות ש-f, הנגזרת הראשונה והנגזרת השנייה שלה שואפות לפולינום ולנגזרות הראשונה והשנייה שלו בנקודה הזו, באמצעות משחק עם השבר והשוואה להגדרות של כ"א מהגבולות.

זה מספיק לך בשביל להצדיק מינימום מקסימום זהים.

הגבול הנתון עצמו מתאים לנגזרות השניות לדעתי.

[Hela]

קודם כול מכך ש 1,1 היא נקודה קריטית נוכל להסיק ש 2a+b=0 ואנחנו יכולים למצוא את fxx מבינום ניוטון כי יש לנו כאן פולינום טיילור אז fxx= 1+a^2 ו fxy=b ו fyy=1+2a^2 ומחשבים את ההסיאן :

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?(1+a%5E2)(1+2a%5E2)%20-b%5E2%20

http://www.codecogs.com/gif.latex?1-a%5E2+2a%5E4

הצבתי b=-2a 

ואחר כך t=a^2 

 

אבל בסוף זה יוצא ש a מס' מרוכב ולא ממשי בכלל ... 

[אודי]

אם אין פה טעות חישוב נשארת עם a=b=0 כפתרון למינימום ולשאר אין פתרון

[Hela]

איך הגעת בסוף לכך ש a=b=0 ??

[אודי]

זה פתרון אחד שמאפס את הנגזרת הראשונה שלא שקלת.

[Hela]

אבל הנגזרת הראשונה לפי X נתנה לי 2a+b=0 ולפי Y היא כבר 0 כי היא לא נמצאת בפולינום טיילור ..

[אודי]

נכון. ו-a=b=0 הוא פתרון שמקיים את המשוואה הזו שלא שקלת.

[Hela]

אבל המשוואה הזאת נפתרת לא רק כאשר a=b=0 :\

[אודי]

אוקי, הבנתי מה מציק לך. לא ממה שאמרת, אבל לא משנה.

 

קבלת שההסיאן לא יכול להתאפס. כלומר אין נקודת אוכף, רק מינימום או מקסימום.

לביטוי שקבלת במשוואה הריבועית יש סימן אפשרי אחד בלבד במקרה של נקודת קיצון.

אפשר לראות שהוא רק חיובי (גם מהמקרה a=b=0, אבל גם כי הדטרמיננטה של המשוואה הריבועית שלילית והמקדם של החזקה הגבוהה חיובי).

...ולכן התשובה המלאה היא שעבור כל a ו-b שמקיימים את התנאי כדי שזו תהיה נקודת קיצון (b=-2a) נקודת הקיצון היא מינימום.

[Hela]

תודה רבה לך !!!

 

בהינתן ממשי חיובי, פרקו אותו לשלושה מחוברים חיוביים שמכפלתם היא המקסימלית.

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?x

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?x+y+z

http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x,y,z)%20=%20xyz

 

אני גוזרת אותה לפי X ומקבלת yz

וגוזרת לפי Y ומקבלת xz 

וגוזכרת לפי z ומקבלת xy 

אבל מה אני עושה עכשיו ??

אני יודעת שכאשר גוזרים ומשווים לאפס מקבלים את המכפלה המקסימלית אבל איך זה מתבטא כאןו 

 

תודה רבה 

[אודי]

לא השתמשת בנתון שהסכום של שלושת המספרים הוא ממשי קבוע כלשהוא, נסמנו ב-a.

אני חושב שאת צריכה לבטא את z כ-a-x-y ואז לעשות את המכפלה, לחשב גרדיינט של פונקצייה של שני משתנים ולהשוות אותו לאפס; לחשב את ההסיאן כדי לראות אם נקודות הקיצון שמצאת הם מינימום, מקסימום או אוכף.

[Hela]

זאת אומרת לעשות כך : http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x,y)%20=%20xy(a-x-y)

http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x,y)%20=xya-yx%5E2-xy%5E2

 

גוזרים לפי X ומשווים לאפס:

http://www.codecogs.com/gif.latex?ya-2yx-y%5E2=0

גוזרים לפי Y ומשווים לאפס:

http://www.codecogs.com/gif.latex?xa-x%5E2-2xy=0

 

y=0 לא אפשרות כי אמרו ש X ו Y חיוביים .

לכן : 

a-2x-y=0

y=a-2x

בשנייה גם X לא יכול להיות שווה 0

לכן :

a-x-2y=0

y=a-x/2

משווים:

a-2x=a-x/2

2a-4x=a-x

x=a/3

y=5a/6

לכן הנקודה היא ( a/3,5/6a) 

 

fxx= -2y= -10a/6

fxy= a-2x-2y= a-2a/3-10a/6= -4a/3

fyy= -2x=-2a/3

 

נחשב את ההסיאן:

fxx*fyy-fxy^2= 20a^2/18-16a^2/9=-2/3a^2<0

לכן יש לנו כאן אוכף .

 

האם זה נכון? 

[אודי]

לא, יש לך טעות חישוב.

לא יכול להיות שאין סימטריה ב-x ו-y כי הביטוי המקורי סימטרי בשניהם ולכן גם הנגזרות ונקודות הקיצון. הפתרון הוא a/3,a/3 והוא מקסימום.

[אודי]

לכן :

a-x-2y=0

y=a-x/2

והנה הטעות. המעבר צ"ל

y=(a-x)/2

[Hela]

לא הבנתי בשאלה שבהתחלה איך אני יכולה להוכיח שהנגזרת הראשונה והשנייה של f הם של הפולינום?? אני יכולה פשוט להגיד ש http://www.codecogs.com/gif.latex?(x-1)%5E2+(y-1)%5E2=z ואז לגזור מונה ומכנה לפי לופיטל ולהגיד שהנגזרת הראשונה שווה אבל איך אני מוכיחה שהשנייה גם ....

 

תודה 

[אודי]

אחרי שהוכחת שהפונקציה מקבלת אותו ערך כמו הפולינום ב-(1,1) ושגם הנגזרות הראשונות שלהם שוות, או:

http://www.codecogs.com/gif.latex?f(1,1)=p(1,1)=p

http://www.codecogs.com/gif.latex?f'(1,1)=p'(1,1)

 

את יכולה לכתוב את השבר הנתון בגבול המקורי כ-

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%20%5Cfrac%7Bf(x,y)-p%7D%7B%20%5Csqrt%7B(x-1)%5E2+(y-1)%5E2%7D%7D-f'(1,1)%7D%7B%5Csqrt%7B(x-1)%5E2+(y-1)%5E2%7D%7D-%5Cfrac%7B%5Cfrac%7Bp(x,y)-p%7D%7B%5Csqrt%7B(x-1)%5E2+(y-1)%5E2%7D%7D-p'(1,1)%7D%7B%5Csqrt%7B(x-1)%5E2+(y-1)%5E2%7D%7D

 

...כשאת משאיפה את x,y ל-(1,1) השבר הזה הוא פשוט http://www.codecogs.com/gif.latex?f''(1,1)-p''(1,1), ואם הגבול הוא אפס זה אומר שהנגזרות השניות שוות.

 

[אודי]

הערה: במקרה הזה בסימון ' אני מתכוון לנגזרת חלקית לפי x או y, לא לנגזרת מלאה.

אפשר לייצר מהשבר הנ"ל את הנגזרת השנייה הדרושה לפי בחירת סדר ההשאפה ל-0 של x ו-y ושימוש בקבוע המתאים בנקודה (1,1).

(כלומר, http://www.codecogs.com/gif.latex?f'(1,1) מסמן אצלי את http://www.codecogs.com/gif.latex?f_x(1,1) או http://www.codecogs.com/gif.latex?f_y(1,1))

[Hela]

תודה אבל מי אמר שהפונקציה מקבלת את את אותו ערך כמו הפולינום ב (1,1)???

[אודי]

אחרת המונה של השבר המקורי לא שואף לאפס. ומכיוון שהמכנה של השבר שואף לאפס והגבול הוא אפס, גם המונה חייב לשאוף לאפס.

[Hela]

תודה רבה .. אני הבנתי שאין לנו כאן אוכף ואין לנו גם מקסימום .. יש לנו רק מינימום כי :: 

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?f_%7Bxx%7D%20=%201+a%5E2

 

וההסיאן גדול מאפס .

 

אבל איך בסוף קיבלנו ש a=b=0 זה עדיין לא ברור לי ... :(

 

אתה אומר לי שאני לא התייחסתי ל 2a+b=0 אבל המשוואה הזאת לא אומרת לי בהרכח ש a=b=0 ..

[אודי]

a=b=0 היה רק מקרה שהבאתי לדוגמא כי היה נדמה לי שלא לקחת אותו בחשבון. את צודקת - גם עבור a ו-b שונים מאפס האפשרות היחידה היא מינימום.

[Hela]

תודה לך!!