אלגברה מודרנית-עוד שאלה

[littlerunaway]

הסתבכתי עם השאלה הזאת: http://i.imgur.com/epZoPOM.jpg

[incog]

באיזה חלק הסתבכת.

בחלק הראשון פשוט תראי לפי הגדרה, לגבי הסדר, מה את יכולה להגיד על e^2pi/n ?

 

בחלק ב' שוב פעם צריך על פי הגדרה והפירוש הגאומטרי שימי לב שאם xy^-1 שייך ל- Kn זה אומר שקיים איזשהו j כך ש:
x=ye^2jpi/n 

כלומר y הוא סיבוב של x ב- 360j/n מעלות.

[littlerunaway]

זהו, שאני מסתבכת פה עם ההוכחה לפי הגדרה של תת חבורה

[littlerunaway]

אוקיי, אני חושבת שאת א' הבנתי. אבל שאלה בכל זאת לפני שאני עוברת לב'. איך אני רואה ש Kn מוכלת ב-G? הרי כשאני מוכיחה שזו תת חבורה אני בעצם מניחה שכל האיברים ב Kn באים מתוך G

[incog]

שימי לב שאם z^n=1 אזי:  |z^n|=|1| 
אבל |1|=1 ו- z^n|=|z|^n|  

לכן:
z|^n=1|

ומכיוון ש- |z| זהו איבר ממשי חיובי אז בהכרח |z|=1|

 

כלומר זהו אכן איבר ב-G

[littlerunaway]

הבנתי

[littlerunaway]

אוקיי, שני דברים שאני לא מצליחה. הסעיף השני של בדיקת יחס שקילות. אם X~Y אז Y~X . 

ולא הבנתי מה הלך בהסבר שלך לגבי המשמעות הגיאומטרית

[littlerunaway]

אוקיי, נשאר רק ההסבר הגיאומטרי

[incog]

כל איבר על מעגל היחידה הוא מהצואה:
e^it    כך ש- t בין 0 ל- 2pi 
הכפלה של e^it  ב- eiz  תתן e^i(z+t)   d    כלומר אם בהתחלה הזווית היתה t אז כשהכפלנו ב- e^iz  סובבנו ב- z מעלות והעברנו את e^it ל- e^i(z+t)  
 

כעת איבר ב- kn בעצם אפשר לזהות אותו עם כפולה של הזווית 360 לחלק ל-n 
לכן אם xy^-1 נמצא ב-kn זה אומר שהם באותו קוסט של Kn לכן הפרש הזווית ביניהם הוא כפולה של 360 לחלק ל-n.

קצת קשה להסביר את זה במילים (קל מאוד לראות זאת בסרטוט).

[littlerunaway]

מה זה ה- e הזה שאתה רושם כל הזמן?

[incog]

אקספוננט:

e^it=cost+isint

[littlerunaway]

כן, ניחשתי שזה אקספוננט רק לא הבנתי מאיפה הוא הגיע