חדו"א 2 תרגיל ..

[Hela]

מישהו יכול לעזור לי בשאלה הזאת ... האם אני צריכה לגזור את שני המסלולים הנתונים אני לא יודעת איך לשלב ביניהם ..

 

תודה 

[אודי]

למשוואת המישור את צריכה נקודה על המישור ווקטור ניצב למישר.

נקודה על המישור כבר יש לך, וקטור ניצב אפשר למצוא ממכפלה וקטורית של שני וקטורים שמצאת בעזרת נקודות על שני העקומים.

...כל מה שאת צריכה למצוא הוא נקודה נוספת על כל עקום, לחשב משתי הנקודות והנקודה המקורית שני וקטורים ולעשות להם מכפלה וקטורית.

[Hela]

אני מציבה למשל t=0 ומקבלת נקודה שהיא (2,1,3) שהיא זהה לנקודה P ועוד נקודה שונה עכשיו כאשר אני מחסרת בין נקודות אני מקבלת וקטור שהוא 0,0,0 מה שאומר שאין נורמל למישור עכשיו כאשר אני לוקחת למשל נקודה אחרת כמו t=2 אני עושה מכפלה וקטורית רגיל בין הוקטורים ומקבלת מישור אז בסדר כך שאני מקבלת פעם שיש מישור ופעם אין ולוקחת את הנקודה בה יש מישור ??

 

תודה

[אודי]

איך את לוקחת נקודה שונה מ-(2,1,3) ומקבלת (0,0,0) כשאת מחסרת ביניהן?

:scratch:

 

התכוונת כנראה ש-(0,0,0) היא תוצאת המכפלה הוקטורית.

יכול להיות שבמקרה קבלת שני וקטורים מקבילים. נניח, אם עקום אחד עובר ב-(4,2,6) והשני ב-(6,3,9) תקבלי שבחירה של הנקודות האלו ו-(2,1,3) לא מוצלחת כי היא נותנת שני וקטורים במישור אבל לא וקטורים שונים - הם מקבילים (למעשה, הם מתלכדים במקרה הזה, אבל זה לא משנה לצרכי המכפלה הוקטורית, היא אפס בשני המקרים),

קל לבדוק את זה כי וקטורים מקבילים הם כפולה סקלרית אחד של השני.

[Hela]

אני מתכוונת לזה שלמשל אני מציבה t=0 ומקבלת 2,1,3 ו- 1,-1,1 והקודה שנתונה היא 2,1,3 ולכן כאשר אנחנו מחסרים נקודות על מנת לקבל וקטורים אני מקבלת 0,0,0 ווקטור אחר שונה מאפס מה שאומר שהמכפלה הוקטורית תתן 0 אבל כאשר אני מציבה t=2 אני מקבלת 8,-3,-1 ו- 5,15,5 והנקודה הנתונה היא 2,1,3 אני מחסרת בין נקודות ומקבלת וקטורית שהמכפלה ביניהם שונה מאפס מה שאומר שיש מישור אז זה נכון שפעם יוצא שיש מישור ופעם שאין?

[אודי]

לא.

הנקודה השנייה של כל וקטור צריכה להיות שונה מ-(2,1,3).

אחרת את לא מכפילה וקטורית שני וקטורים שונים מאפס אלא מכפילה וקטורית וקטור עם וקטור האפס וברור שזה ייתן אפס.

זה לא אומר שלא קיים וקטור מאונך למישור, אלא משהו כללי וטריוויאלי יותר - אם מכפילים משהו באפס מקבלים אפס.

 

את צריכה מכפלה וקטורית בין שני וקטורים שונים מאפס.

 

אין גם סיבה מיוחדת שתבחרי באותו t לשני העקומים כדי להשיג  את הנקודה השנייה.

נערך בתאריך מאי 3, 2013 - על-ידי אודי

[Hela]

תודה רבה !!

 

יש לי עוד שאלה מה שעשיתי זה כך :

 

1) http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cpartial%20T%7D%7B%5Cpartial%20u%7D=%20%5Cbigtriangledown%20T(2,-1,2).(3,-3,3)

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cpartial%20T%7D%7B%5Cpartial%20x%7D=-800e%5E%7B-43%7D

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cpartial%20T%7D%7B%5Cpartial%20y%7D=1200e%5E%7B-43%7D

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cpartial%20T%7D%7B%5Cpartial%20z%7D=-7200e%5E%7B-43%7D

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cbigtriangledown%20T(2,-1,2)=%20(-800e%5E%7B-43%7D,1200e%5E%7B-43%7D,-7200e%5E%7B-43%7D)

http://www.codecogs.com/gif.latex?(-800e%5E%7B-43%7D,1200e%5E%7B-43%7D,-7200e%5E%7B-43%7D).(%5Cfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt27%7D,%20%5Cfrac%7B-3%7D%7B%5Csqrt27%7D,%5Cfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt27%7D)=%20%5Cfrac%7B-27600e%5E%7B-43%7D%7D%7B%5Csqrt27%7D

 

 

2) קצב השינוי בטמפ' הוא מקסימלי כאשר הכוון הוא ככיוון הגרדיאנט אז רק צריך לנרמל את וקטור הגרדיאנט :

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cunderset%7Bn%7D%7B%5Crightarrow%7D=%20(-e%5E%7B-43%7D,%201.5e%5E%7B-43%7D,-9e%5E%7B-43%7D)

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Chat%7Bn%7D=%20%5Cfrac%7B%5Cvec%7Bn%7D%7D%7B%7Cn%7C%7D=%20(%5Cfrac%7B-1%7D%7B%5Csqrt84.25%7D,%5Cfrac%7B1.5%7D%7B%5Csqrt84.25%7D,%20%5Cfrac%7B-9%7D%7B%5Csqrt84.25%7D)

 

3) אני גוזרת לפי X ו Y וZ בנקודה ( 1, 1,1) ומקבלת : 

לפי איקס: http://www.codecogs.com/gif.latex?-400e%5E%7B-43%7D

לפי ואי: http://www.codecogs.com/gif.latex?-1200e%5E%7B-43%7D

לפי זיד: http://www.codecogs.com/gif.latex?-3600e%5E%7B-43%7D

 

עכשיו אני עושה מכפלה סקלרית בין וקטור הגרדיאנט ווקטור שהוא מינוס הגרדיאנט בX וב Y ואני מוצאת משם את Z : 

http://www.codecogs.com/gif.latex?(e%5E%7B-43%7D,-3e%5E%7B-43%7D,-9e%5E%7B-43%7D).(e%5E%7B-43%7D,3e%5E%7B-43%7D,z)=0

http://www.codecogs.com/gif.latex?z=%20%5Cfrac%7B10%7D%7B-9%7De%5E%7B-43%7D

 

עכשיו בקשר לטמפ' אני חושבת שהיא http://www.codecogs.com/gif.latex?(1,3,-10/9) אבל אני לא בטוחה ..

 

4) קצב השינוי המקסימלי מתקבל כאשר שני הוקטרים מקבילים .. גודל הגרדיאנט כפול גודל וקטור הכיוון כפול קונסיונוס אפס לכן מה שצריך למצוא זה גודל הגרדיאנט

שהוא בעצם 

 

לפי איקס: http://www.codecogs.com/gif.latex?-400e%5E%7B-43%7D

לפי ואי: http://www.codecogs.com/gif.latex?-1200e%5E%7B-43%7D

לפי זיד: http://www.codecogs.com/gif.latex?-3600e%5E%7B-43%7D

שורש הריבועים של הנגזרות החלקיות

 

האם איך שפתרתי נכון ?? תודה רבה 

[Hela]

מישהו בבקשה ..

[אודי]

בסעיפים 1, 2 וחצי מ-3 הדרך נכונה (אני לא יכול להתחייב לגבי טעויות חישוב, אבל נראה לי שגם זה בסדר).

הטמפרטורה ב-3 היא כמובן סקלר ולא וקטור, וקל למצוא אותה מהצבת הוקטור (1,1,1) בפונקציה T. אם הטמפרטורה נשארת קבועה לאורך המסלול אז היא פשוט הטמפרטורה בנקודה Q.

4 גם נראה נכון. הנגזרת המכוונת בכיוון הגרדיינט היא אכן פשוט גודל וקטור הגרדיינט וזה קצב השינוי המקסימלי.

[Hela]

תודה רבה רבה לך .. רק שאלה אחרונה האם מותר לי לחלק את הגרדיאנט במספר כלשהו כדי להקטין את הערכים בכול קוארדינטה ?? על מנת לחשב למשל ערכים כלשהם ?

[אודי]

כשאת מחשבת מה?

:scratch:

- לא כשאת מחשבת את קצב ההשתנות (זה הגודל של וקטור הגראדינט).

- כן כשאת מחשבת וקטור יחידה בכיוון הגראדינט (אז את מחלקת בגודל של הוקטור).

[Hela]

לא אני התכוונתי לחלק את הוקטור בשביל לקבל וקטור יותר קטן זאת אומרת נוח יותר לעבוד איתו ...?? זאת אומרת וקטור אחר שבמקביל לו ..

[אודי]

נוח לעבוד איתו בשביל לחשב מה? כאמור, זה תלוי במה את מחשבת.

יש גדלים שבחישוב שלהם הגודל של הוקטור לא חשוב, רק הכיוון (זוית בין וקטורים, מישור ניצב לוקטור)

יש גדלים שבחישוב שלהם הגודל של הוקטור חשוב (גראדיינט/קצב השתנות, מכפלה וקטורית, מכפלה סקלרית)

אני לא יכול להגיד לך מראש אם מותר לך או אסור לך בלי לדעת מה את מנסה לחשב איתו.

נערך בתאריך מאי 4, 2013 - על-ידי אודי

[Hela]

תודה רבה רבה לך אני לא יודעת איך להודות לך באמת !!

 

יש לי עוד שאלה ..

 

בא' הם מבקשים שהמישור המשיק יהיה מקביל למישור z=x-y מה שאני אמרתי זה שזה אומר שהנורמל של כול אחד צריך להיות אז פורפורציונאלי ולכן חישבתי את הנגזרת לפי X ולפי Y ולפי Z וקיבלתי :

 

נגזרת לפי Xזה 2x ולפי Y זה -2y ולפי Z זה -2z והנורמל למישור שמקביל לו הוא 1,1-1 אני משווה בין כול קוארדינטה ומקבלת נקודה שהיא http://www.codecogs.com/gif.latex?(1/2,-1/2,1/2) אבל אני לא בטוחה 

 

עכשיו בשנייה אמרתי שאין אבל אני לא יודעת למה ..

[אודי]

1. נראה לי שהנורמל שלך לא נכון. המישור הוא z=x+y ולכן הנורמל הוא (1-,1,1).

    בכל מקרה, הגרדיינט להיפרבולואיד יכול להיות פרופורציוני לנורמל למישור ולא הנורמל למישור בדיוק ולכן את מקבלת שהגרדיינט מקיים

http://www.codecogs.com/gif.latex?(2x,-2y,-2z)=%5Calpha(1,1,-1)

או:

http://www.codecogs.com/gif.latex?(x,y,z)=%5Calpha(1/2,-1/2,1/2)

 

...הבעייה כשאת מציבה את הנקודה הזו במשוואת ההיפרבולואיד כדי לראות אם קיימת עליו נקודה שעומדת בדרישה את מקבלת את המשוואה

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?-%5Calpha%5E2/4=1

שאין לה פתרון (אלפא חייב להיות ממשי) ולכן נראה שאין נקודה על ההיפרבולואיד שמקיימת את זה.

 

2. גם פה התשובה היא שאין פתרון. נראה לי שהדרך הקלה ביותר לראות את זה היא לחשב את הנגזרת המעורבת http://www.codecogs.com/gif.latex?f,_%7Bxy%7D פעם מגזירה חלקית לפי y של הנגזרת החלקית לפי x ופעם מגזירה חלקית לפי x של הנגזרת לפי y ולראות שמקבלים תוצאות שונות.

   ...כמובן שהפונקצייה צריכה להיות גזירה ורציפה כדי שהנגזרת המעורבת תהיה קיימת ושווה (http://www.codecogs.com/gif.latex?f,_%7Bxy%7D=f,_%7Byx%7D) אבל אני מניח שהדרישה הזו מתקיימת אם יש נגזרות חלקיות והן לא הוגדרו כנגזרות חד צדדיות או משהו. אפשר לקבל את זה גם מאינטגרציה של הנגזרות החלקיות אם צריך.

נערך בתאריך מאי 4, 2013 - על-ידי אודי

[Hela]

תודה רבה לך !!

 

יש לי שאלה כאשר אני עושה נגזרת לפי X כמו בשאלה הזאת מבקשים fx(0,0) אני צריכה קודם להציב Y שווה ל 0 ואז לגזור את הפונקציה לפי X ואז להציב X= 0

אז ככה : 

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?f'x(x,0)=%20x(x%5E2)%5E%7B-3/2%7D%20=%20x*x%5E%7B-3%7D%20=%20x%5E%7B-2%7D

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?f'x(x,0)=%20x%5E%7B-1%7D/-1=%20-1/1=-1

 

האם זה נכון ??

 

תודה רבה 

[אודי]

אני לא רואה את השאלה שאת מתכוונת אליה ולא יודע איזו פונקציה את גוזרת,