דטרמיננט של מטריצה הפיכה- שאלה מאוד פשוטה

[yanivdan98]

הי

 

יש לי שאלה שהיא מאוד מאוד קלה, אבל משום מה משהו לא מסתדר לי:

 

אם יש לי את המטריצה:

 

M =[a,0;0,b] = 

 

(a 0)

(0 b  )

 

ואני מחשב את ההופכי שלה ,זה:

 

M^-1 =(b,0;0,a)/ |ab|

 

ואם אני מחשב את הדרמיננט של M^-1 אז אני מקבל ש- :

 

|M^-1| =  | (b,0;0,a) | / |ab|  =|ab| / |ab| =1

 

וזה לא מסתדר לי , כי ידוע ש- 

 

| M^-1 | = 1/|M| = 1/|ab|

 

איפה אני טועה?

 

אני יודע שאלה מאוד קלה, אבל לא יודע משום מה לא מסתדר לי, אולי בגלל כמות השעות שאני כבר לומד ;)

[אודי]

אתה טועה בחישוב הארוך של הדטרמיננט של המטריצה ההופכית, ותראה את זה מייד אם תכניס את המקדם הסקלרי לתוך המטריצה (כלומר, תכפול את שני אברי המטריצה השונים מאפס בסקלר ואז תחשב את הדטרמיננטה).

בחישוב דטרמיננטה של מטריצה עם מקדם סקלרי המקדם הסקלרי מקבל חזקה של דרגת המטריצה, כלומר פה:

http://www.codecogs.com/gif.latex?det(M%5E%7B-1%7D)=%5Cfrac%7Bab-0%7D%7B%7Cab%7C%5E2%7D=%5Cfrac%7B1%7D%7B%7Cab%7C%7D

(בהנחה ש-ab חיובי)

נערך בתאריך אפריל 21, 2013 - על-ידי אודי

[Boris]

מה שכתבת לא הכי ברור, אבל המטריצה

http://i.imgur.com/UjRmMZg.gif

היא סינגולרית ואין לה הופכית.

[אודי]

זה סתם בלגן בגלל האנגלית, בוריס. תסתכל על השורה הראשונה, המטריצה שהוא מגדיר שם אלכסונית והפיכה

[Boris]

אה, אז מה שאודי כתב

[yanivdan98]

הי בוריס, המטריצה היא אלכסונית ויש לה באלכסונים את a  ולמטה את b.

 

משהו מוצא איפה הסתירה במה שרשמתי?

[אודי]

כן. וכבר הסברתי מהי.

[yanivdan98]

הי אודי,

 

תודה על התשובה, עדיין לא ברור לי למה במכנה יש לך משהו בחזקת 2 ולא בחזקת 1?

 

אני פשוט עובד לפי הגדרה:

 

M^-1 =[b,0;0,a] /det(M)

 

det([b,0;0,a]) =det(M)

 

עדיין לא מצליח להבין איך הגעת לזה?

 

תודה מראש :)

[אודי]

כבר הסברתי את זה, כנראה שזה היה לא ברור אז ננסה שוב בניסוח אחר.

 

כשיש לך חישוב דטרמיננטה של מטריצה עם מקדם סקלרי (פה: c=|ab|^-1), המקדם הסקלרי מקבל חזקה של מספר השורות במטריצה.

http://www.codecogs.com/gif.latex?det(cA)=c%5Ed%5C,det(A)

אתה השמטת את החזקה הזו.

למה המקדם מקבל חזקה? כי הוא כופל כל איבר במטריצה, ולכן אם תכניס אותו למטריצה ותחשב את הדטרמיננטה תראה שהחזקה מופיעה באופן טבעי.

נערך בתאריך אפריל 21, 2013 - על-ידי אודי

[yanivdan98]

תודה רבה לך :) עכשיו מובן..

[אודי]

על-לא-דבר

:)