עוד פעם אינטגרלים

[littlerunaway]

השאלה הזאת:

http://i.imgur.com/qgINgyH.jpg

 

[אודי]

גם האינטגרל הזה פתיר אנליטית. האינטגרנד הוא פשוט הנגזרת של

http://www.codecogs.com/gif.latex?-%5Cfrac%7B1%7D%7B(p-1)(log(x))%5E%7Bp-1%7D%7D

...גזור וראה בעצמך

[אודי]

אבל זה לא מספיק לפתרון של השאלה. שנייה

[littlerunaway]

אני באמת לא מבינה איך הגעת לזה

[אודי]

כשיש לך אינטגרנד שהוא מכפלה של חזקה של פונקציה F (לוג במקרה שלנו) והנגזרת של הפונקציה F' (אחד חלקי איקס במקרה שלנו), אז הפונקציה הקדומה היא חזקה של הפונקציה F.

מתקבל בכיוון ההפוך מגזירה לפי כלל השרשרת.

...ומההצבה של גבולות האינטגרצייה (אחד ואינסוף) נראה לי שעבור כל חזקה אחד מהם מתבדר ולכן האינטגרל הימני מתבדר

אבל אני צריך לזוז, אז תשבי על זה קצת ותוודאי בעצמך.

נערך בתאריך אפריל 12, 2013 - על-ידי אודי

[אודי]

נראה לי שהשמאלי מתכנס עבור P גדול מ-1

 

את המקרה P=1 צריך לפתור בנפרד כי האינטגרל שלו שונה. לוג של לוג.

נראה לי שהוא מתבדר באינטגרל הימני והשמאלי.

[littlerunaway]

אוקיי, הבנתי לגבי האינטגרל הימני. דווקא בשמאלי אני מסתבכת. אחרי שאני מציבה את הגבולות (אינסוף ו-0) יוצא לי סוג של אינסוף פחות אינסוף. מה עושים עם זה? 

 

אוקיי, נראה לי שהבנתי. רק אני לא מבינה בדיוק מה קורה ב P=1

[אודי]

ב-p=1 הנוסחא שכתבתי לפונקציה הקדומה לא תקפה, מכיוון שהחזקה של הלוג היא מינוס אחד והאינטגרל על חזק של מינוס אחד הוא לוג. כלומר, התוצאה שבה צריך להציב את הגבולות היא

http://www.codecogs.com/gif.latex?log(log(x))

הדבר הזה מתבדר באינטגרל הימני (אינסוף פחות מינוס אינסוף). באינטגרל השמאלי זה מסובך יותר כי מקבלים מהצבת הגבול באפס אינסוף פחות אינסוף. שזה יכול להיות אינסוף, מינוס אינסוף או קבוע סופי. כדי לפתור את זה נחזור אחורה. אפשר לחלק את האינטגרל השמאלי עבור P=1 לשני קטעים, האינטגרל הימני והקטע בין אפס ואחד, ולהראות שהם שווים ומנוגדים בסימן - כלומר שאחרי המרת משתנים מתקבל אינטגרל סימטרי, וה"אינסוף" מימין ל-1 מתקזז בדיוק עם ה"מינוס אינסוף" משמאל לאחד. y=logx נותן את התוצאה המתאימה.

נערך בתאריך אפריל 12, 2013 - על-ידי אודי

[littlerunaway]

משהו שאני לא מבינה. אם קבענו שהאינטגרל הימני מתבדר עבור כל P, איך יכול להיות שהשמאלי מתכנס עבור איזשהו P? הרי את השמאלי ניתן לרשום כסכום של שני אינטגרלים (שאחד מהם הוא הימני) ואם אחד מהם לא מתכנס אז כל האינטגרל לא מתכנס. 

[אודי]

שימי לב שלשני האינטגרלים בפירוק של השמאלי יש תוצאות עם סימנים שונים

האינטגרל בין אפס לאחד שלילי. האינטגרל בין אחד לאינסוף חיובי. כל אחד מהם מתבדר כשלעצמו (מינוס אינסוף ואינסוף); הסכום שלהם יוצא בדיוק אפס, מכיוון שניתן לכתוב אותם כשני אינטגרלים זהים עד כדי סימן.

[littlerunaway]

אנחנו למדנו ששני האינטגרלים חייבים להתכנס כל אחד בנפרד כדי שהסכום שלהם יתכנס. אין דבר כזה שאחד מבטל את השני אם פלוס אינסוף ומינוס אינסוף

[אודי]

זה נאמר בניסוח הזה? שאין מצב בו שני אינטגרלים מתבדרים עם סימנים שונים מבטלים זה את זה?

אני מאוד בספק. זה לא מה שאמרת קודם. קודם אמרת שאם אחד מתכנס והשני מתבדר הסכום מתבדר, שזה נכון אבל לא סותר את המצב פה.

 

תחשבי על האינטגרל ממינוס אינסוף עד אינסוף על הפונקציה x.

פורמלית, ניתן להגדיר אותו כגבול a->אינסוף על האינטגרל ממינוס a לפלוס a.

אבל האינטגרל הזה מתאפס עבור כל a סופי בגלל שהקטעים מימין ומשמאל לאפס אנטי סימטרים (אפשר גם לראות מהפתרון האנליטי), וזה נכון באותה מידה לגבי מינוס אינסוף ואינסוף.

כנ"ל האינטגרל על x^3,x^5 וכו'.

נערך בתאריך אפריל 14, 2013 - על-ידי אודי

[אודי]

אה, יש לי דוגמא נגדית עוד יותר משכנעת בשבילך. תחשבי על חיסור של אינטגרל מתבדר (לאינסוף) מעצמו. נגיד האינטגרל על קבוע מאפס עד אינסוף.

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cintop_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da%5C,%20dx-%5Cintop_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da%5C,%20dx

לשני האינטגרלים יש סימנים שונים ושניהם מתבדרים. יחד עם זאת, ברור שהחיסור של האינטגרל מעצמו נותן אפס ולא אינסוף.

 

אגב, יש כמובן גם מקרים שבהם אינטגרלים מתבדרים עם סימנים שונים לא מבטלים זה את זה ואחד מהם מנצח.

נערך בתאריך אפריל 14, 2013 - על-ידי אודי

[littlerunaway]

אני רק אומרת לך מה למדנו. שאם אתה מפרק אינטגרל לשני תחומים (או יותר) כל אחד מהם חייב להתכנס בנפרד. כשאתה מחסר אינטגרל מתבדר מעצמו אתה לא מפרק את התחום לחלקים אז הדוגמא האחרונה שלך לא כל כך משכנעת כי היא לא דוגמא למצב שאני מדברת עליו. 

אני זוכרת שהמתרגל הזכיר פונקציות אנטי סימטריות בתור דוגמא ואמר במפורש שהאינטגרלים לא מבטלים אחד את השני למרות שזה נראה כך. אבל אני לא בטוחה בזה ב-100%, זה היה בסמסטר קודם. 

[אודי]

א. אין שום הבדל עקרוני בין פירוק לשני חלקים לסתם חיבור או חיסור. עם החלפת המשתנים המתאימה אני יכול לשנות גם את הדוגמא האחרונה שלי כך שתיראה כחלוקה לשני חלקים. אני אחליף באינטגרל הראשון את המשתנה מאיקס למינוס איקס, וקבלתי שהאינטגרל הראשון הוא ממינוס אינסוף לאפס והשני מאפס לאינסוף, על פונקציה לא רציפה שהיא A- בחלק החיובי של הישר ו-A בחלק השלילי (איך היא מוגדרת באפס לא חשוב, כי בנקודה אחת האינטגרל הוא אפס בכל מקרה).

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cintop_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B0%7Da%5C,%20dx+%5Cintop_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D-a%5C,%20dx=0

ב. מתרגלים טועים. אפילו מרצים טועים מפעם לפעם. קורה.

[אודי]

והנה קסם! בשלב השלישי החלפתי משתנה מ-X למינוס X (ואז קראתי לו איקס מחדש, מה שמותר לי כי זה משתנה אינטגרציה באינטגרל מסויים).

http://www.codecogs.com/gif.latex?0=%5Cintop_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D(%20x-x)dx=%5Cintop_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx%5C,%20dx-%5Cintop_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx%5C,%20dx=%5Cintop_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20x%5C,%20dx-%5Cintop_%7B0%7D%5E%7B-%5Cinfty%7D%20x%5C,%20dx=%5Cintop_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx%5C,%20dx+%5Cintop_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B0%7D%20x%5C,%20dx=%5Cintop_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20x%5C,%20dx

 

נערך בתאריך אפריל 14, 2013 - על-ידי אודי

[littlerunaway]

מאיפה הגיע שם המינוס לאינסוף למעלה, באינטגרל השני מימין בשורה הראשונה? 

[Boris]

מאיפה הגיע שם המינוס לאינסוף למעלה, באינטגרל השני מימין בשורה הראשונה? 

הוא עשה שם החלפת משתנים (כמו שכתוב) 

[littlerunaway]

ומותר לעשות החלפת משתנים רק לאינטגרל אחד בסכום? לא נשמע לי הגיוני

[Boris]

בטח שכן.

[littlerunaway]

אבל הוא קרא ל-(X  (-X ואז התייחס אליו כאותו X כמו באינטגרל השני. אבל בעצם מדובר בשני X -ים שונים. 

[אודי]

כמו שהסברתי, בגלל שזה רק משתנה אינטגרציה באינטגרל מסויים (אני נפטר ממנו בהצבת גבולות האינטגרציה), לא משנה איך אני קורא לו. הייתי יכול גם לקרוא לו y,z או muki אחרי החלפת המשתנים, זה לא היה משנה את התוצאה של האינטגרל.

כשאני קורא לו (מחדש) X אני רק מדגים שהקטעים ניתנים לחיבור.

נערך בתאריך אפריל 14, 2013 - על-ידי אודי

[littlerunaway]

אבל שינית את גבולות האינטגרציה בלי לשנות את המשתנה. לא משנה מה עשית מאחורי הקלעים בת'כלס הפכת את האינסוף למינוס אינסוף בלי לשנות את ה-X בשום צורה. 

[אודי]

שיניתי את המשתנה. ואז החלפתי את השם של המשתנה החדש. מותר לי.

אמרי לי, האם באמת יש הבדל כלשהוא בין האינטגרלים הבאים?

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cintop_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx%5C,%20dx

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cintop_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dy%5C,%20dy

 

....את יכולה לומר שמה שעשיתי ב"קסם" היה להחליף משתנה ל-y=-x, ואז לקרוא ל-y בשם x

מכיוון ש-y הוא רק משתנה אינטגרציה באינטגרל מסויים, מותר לי לקרוא לו איך שבא לי. אין משמעות לשם.

[littlerunaway]

אבל כשאתה קורא לו בחזרה X אתה פשוט מתעלם מהמינוס. ובפועל מה שרשום למעלה זה שאינטגרל של X מ-0 עד אינסוף = לאינטגרל של X מ-0 עד מינוס אינסוף. 

הרי קראת לו X כדי שתוכל לחבר בסוף את הטווח של שני האינטגרלים ואם היית משאיר אותו בתור X- היית מקבל משהו אחר

[אודי]

אני לא מתעלם מהמינוס. התחשבתי במינוס כשעשיתי את החלפת המשתנים. משם הגיע המינוס אינסוף בגבולות האינטגרציה.

אחרי שהחלפתי משתנים למשתנה y=-x קראתי למשתנה שאליו החלפתי x במקום y.

זה מותר לי, בדיוק מאותה סיבה שלא משנה איך קוראים למשתנה באינטגרלים המסויימים שנתתי למעלה.

אם אני יכול להחליף שם למשתנה האינטגרציה באינטגרלים המסויימים האלו

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cintop_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx%5C,%20dx

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cintop_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dy%5C,%20dy

בלי שזה ישנה את התוצאה, אני יכול להחליף את השם גם באינטגרל שבו החלפתי ב"קסם".

למעשה האינטגרלים האלו הם בדיוק אותו אינטגרל שבו החלפתי שם משתנה ב"קסם", עד כדי מינוס.

נערך בתאריך אפריל 14, 2013 - על-ידי אודי

[littlerunaway]

אבל בפועל אם היית משאיר את המשתנה בתור X- היית מקבל תוצאה אחרת.

[אודי]

למה? האם התוצאה של סכומי האינטגרלים הבאים (לפני ואחרי ההחלפה שעשיתי) שונה?

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cintop_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx%5C,%20dx+%5Cintop_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B0%7D%20y%5C,%20dy

 

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cintop_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx%5C,%20dx+%5Cintop_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B0%7D%20x%5C,%20dx

 

החלפת השם מאפשרת לי לחבר את תחומי האינטגרציה, אבל היא לא משנה את התוצאה של סכום האינטגרלים. התוצאה לא תלויה בשם של משתנה האינטגרציה.

זה שונה מהמקרה של אינטגרל לא מסויים.

נערך בתאריך אפריל 14, 2013 - על-ידי אודי

[littlerunaway]

אני מתכוונת מה היה יוצא לך אם לא היית קורא ל (X-)  בשם Y אלא משאיר אותו בתור (X-)

[אודי]

אבל את מבינה שהחלפת המשתנים הזו חוקית לחלוטין, נכון? אין שום סיבה לפסול אותה. ולכן היא לא משנה את התוצאה המספרית של סכום האינטגרלים, רק את הדרך שבה הוא כתוב.

[littlerunaway]

אבל מה היה יוצא אם היית משאיר את X- בתור X-  ושם (-) למעלה על האינסוף בלי להחליף ל-Y או ל-X או לכל שם אחר? 

[אודי]

אני חושב שאולי יעזור לחשוב על זה במשמעות המקורית של אינטגרל מסויים, שטח מתחת לפונקציה.

 

מה שעשיתי בקסם היה לפרק פונקציית האפס (הקו האדום, השטח מתחתיה הוא אפס) לשתי פונקציות נפרדות שסכומן אפס, x ו-x- (הקווים הכחולים):

http://i182.photobucket.com/albums/x203/Udi_E/linint_zps3d9eef7a.jpg

 

כשאני סוכם את השטחים מתחתיהן (בינם לבין ציר ה-x) אני עדיין מקבל אפס, כי השטחים זהים בגודלם אבל שונים בסימן - שטח אחד נמצא מתחת לפונקציה ולכן חיובי ושטח אחד מעל לפונקציה ולכן שלילי.

 

החלפת המשתנים שעשיתי, y=-x, מקבילה לשיקוף הגרף הכחול התחתון ביחס לציר האנכי (נקרא לו z, לצורך העניין):

http://i182.photobucket.com/albums/x203/Udi_E/linint2_zpsce81e48f.jpg

 

עכשיו אני מחסר מהשטח מתחת לקו הכחול הימני את השטח המתקבל כשאני עושה אינטגרציה מאפס למינוס אינסוף על הגרף הכחול שמאלי.

 

אבל זה מקביל לחלוטין לחיבור השטח המתקבל כשאני עושה אינטגרציה ממינוס אינסוף לאפס על הגרף השמאלי לשטח הימני, המתקבל מאינטגרציה מאפס עד אינסוף.

...כלומר זה מקביל לתוצאה הסופית של הקסם שלי, האינטגרל ממינוס אינסוף עד אינסוף על הפונקציה x

:D

[littlerunaway]

אבל זה לא מה ששאלתי

[אודי]

אבל מה היה יוצא אם היית משאיר את X- בתור X-  ושם (-) למעלה על האינסוף בלי להחליף ל-Y או ל-X או לכל שם אחר? 

בעיקרון אסור לי סתם לשים מינוס בגבולות האינטגרציה בלי להחליף משתנים, זה משנה את התוצאה. אבל זה לא מה שעשיתי פה, למרות שבמקרה הספציפי הזה זה נראה אותו הדבר.

1. החלפתי ל-y=-x. באינטגרל אני מקבל כתוצאה מההחלפה שלושה מינוסים - אחד מהחלפת המשתנה עצמו (x=-y), אחד מהחלפת הדיפרנציאל (dx=-dy) ואחד ליד האינסוף בגבולות האינטגרציה.

2. מכיוון ששני המינוסים הראשונים מבטלים זה את זה, התוצאה הסופית נראית כאילו רק שמתי מינוס בגבולות האינטגרציה. אבל לא. היו שם שני מינוסים נוספים שבטלו זה את זה ועברתי דרך החלפת משתנים לגיטימית. לא סתם הוספתי מינוס.

[אודי]

אבל זה לא מה ששאלתי

כתבתי את זה לפני שראיתי את השאלה שלך.

חשבתי שההסבר הזה יהיה ברור יותר מכיוון שההסבר המקורי שלי לא ברור.

[littlerunaway]

לא יודעת, זה פשוט לא מסתדר לי. אבל לא משנה, הגשתי כבר את העבודה, הציון לא כזה קריטי. יש פה איזה עיניין עקרוני שאני לא קולטת. 

[אודי]

כל מה שאת צריכה לזכור הוא שבאינטגרל מסויים הפעולות הבאות לגיטימיות:

א. החלפת משתנים.

ב. בחירת שם אקראית למשתנה אינטגרציה.

ג. חיבור/חיסור קטעים שונים של אינטגרל על אותה פונקציה.

 

סעיף ב' לא נכון לאינטגרל לא מסויים.

 

הבהרה נוספת: ה"קסם" עובד להגדרה הקונבנציונלית שאני מכיר לאינטגרל לא אמיתי:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cunderset%7B-%5Cinfty%7D%7B%5Cintop%5E%7B%5Cinfty%7D%7Df(x)dx%5Cequiv%5Cunderset%7Ba%5Crightarrow%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7D%5Cunderset%7B-a%7D%7B%5Cintop%5E%7Ba%7D%7Df(x)dx

 

...כמובן שאפשר לספק הגדרה אחרת שעבורה מה שכתבתי לא יהיה נכון, למשל:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cunderset%7B-%5Cinfty%7D%7B%5Cintop%5E%7B%5Cinfty%7D%7Df(x)dx%5Cequiv%5Cunderset%7Ba%5Crightarrow%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7D%5Cunderset%7B-a%7D%7B%5Cintop%5E%7Ba%5E%7B2%7D%7D%7Df(x)dx
אבל עד כמה שאני יודע ההגדרה הזו לא ממש שימושית.

[dando]

א. אין שום הבדל עקרוני בין פירוק לשני חלקים לסתם חיבור או חיסור. עם החלפת המשתנים המתאימה אני יכול לשנות גם את הדוגמא האחרונה שלי כך שתיראה כחלוקה לשני חלקים. אני אחליף באינטגרל הראשון את המשתנה מאיקס למינוס איקס, וקבלתי שהאינטגרל הראשון הוא ממינוס אינסוף לאפס והשני מאפס לאינסוף, על פונקציה לא רציפה שהיא A- בחלק החיובי של הישר ו-A בחלק השלילי (איך היא מוגדרת באפס לא חשוב, כי בנקודה אחת האינטגרל הוא אפס בכל מקרה).

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cintop_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B0%7Da%5C,%20dx+%5Cintop_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D-a%5C,%20dx=0

ב. מתרגלים טועים. אפילו מרצים טועים מפעם לפעם. קורה.

 

אודי, אמרו לנו שלא עושים ככה, כי אם עובדים לפי ההגדרה עם גבולות אז עבור האינטגרל הראשון מגדירים נניח משתנה M ועבור השני משתנה K והשאיפה שלהם לאינסוף היא בלתי תלויה.. כלומר לא יודעים מי שואף מהר יותר לאינסוף. יש משהו שנקרא principal value שזה השאפה סימטרית או משהו כזה ואז יצא 0 אבל אין לנו את זה בקורס.

[אודי]

נראה לי שצטטת את ההודעה הלא נכונה. מה שכתבת מתייחס להודעה האחרונה שלי. וכבר אמרתי:

 

הבהרה נוספת: ה"קסם" עובד להגדרה הקונבנציונלית שאני מכיר לאינטגרל לא אמיתי:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cunderset%7B-%5Cinfty%7D%7B%5Cintop%5E%7B%5Cinfty%7D%7Df(x)dx%5Cequiv%5Cunderset%7Ba%5Crightarrow%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7D%5Cunderset%7B-a%7D%7B%5Cintop%5E%7Ba%7D%7Df(x)dx

 

...כמובן שאפשר לספק הגדרה אחרת שעבורה מה שכתבתי לא יהיה נכון, למשל:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cunderset%7B-%5Cinfty%7D%7B%5Cintop%5E%7B%5Cinfty%7D%7Df(x)dx%5Cequiv%5Cunderset%7Ba%5Crightarrow%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7D%5Cunderset%7B-a%7D%7B%5Cintop%5E%7Ba%5E%7B2%7D%7D%7Df(x)dx
אבל עד כמה שאני יודע ההגדרה הזו לא ממש שימושית.

[אודי]

וכמובן שההגדרה הזו משמעותית רק לדוגמא הספציפית שנתתי, היא לא משנה את הנקודה לגבי חוסר המשמעות של שמות משתני אינטגרציה וגם לא את חוסר ההבדל העקרוני בין חיסור אינטגרלים מתבדרים לחיבור קטעים שבהם האינטגרל מתבדר עם סימנים שונים.

[littlerunaway]

את העיניין של התכנסות כל אינטגרל בנפרד כתנאי להתכנסות שמעתי משני מתרגלים ומרצה. שלושתם טעו?

[dando]

הודעה כפולה בטעות

[dando]

נראה לי שצטטת את ההודעה הלא נכונה. מה שכתבת מתייחס להודעה האחרונה שלי. וכבר אמרתי:

 

הבהרה נוספת: ה"קסם" עובד להגדרה הקונבנציונלית שאני מכיר לאינטגרל לא אמיתי:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cunderset%7B-%5Cinfty%7D%7B%5Cintop%5E%7B%5Cinfty%7D%7Df(x)dx%5Cequiv%5Cunderset%7Ba%5Crightarrow%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7D%5Cunderset%7B-a%7D%7B%5Cintop%5E%7Ba%7D%7Df(x)dx

 

...כמובן שאפשר לספק הגדרה אחרת שעבורה מה שכתבתי לא יהיה נכון, למשל:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cunderset%7B-%5Cinfty%7D%7B%5Cintop%5E%7B%5Cinfty%7D%7Df(x)dx%5Cequiv%5Cunderset%7Ba%5Crightarrow%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7D%5Cunderset%7B-a%7D%7B%5Cintop%5E%7Ba%5E%7B2%7D%7D%7Df(x)dx

אבל עד כמה שאני יודע ההגדרה הזו לא ממש שימושית.

 

אבל אודי בדוגמא שלך יש 2 נקודות סינגולריות... אינסוף ומינוס אינסוף.. ולפי מה שלמדנו מפרקים לשני תחומים שבכל תחום נקודה סינגולרית יחידה.. ואז ההשאפה של a וb היא בלתי תלויה..   :oops:

http://upload.wikimedia.org/math/c/f/3/cf31925bb0daa6c6abfd4c30bd530700.png=http://upload.wikimedia.org/math/f/1/7/f1791a09f7dbc85ab3a674a2ddb737a9.png (מויקיפדיה)

[אודי]

את העיניין של התכנסות כל אינטגרל בנפרד כתנאי להתכנסות שמעתי משני מתרגלים ומרצה. שלושתם טעו?

כבר הסכמנו שחיסור אינטגרל מתבדר מעצמו נותן אפס, נכון?

אז בבירור יש משהו שהם לא דברו עליו.

[אודי]

אבל אודי בדוגמא שלך יש 2 נקודות סינגולריות... אינסוף ומינוס אינסוף.. ולפי מה שלמדנו מפרקים לשני תחומים שבכל תחום נקודה סינגולרית יחידה.. ואז ההשאפה של a וb היא בלתי תלויה..   :oops:

http://upload.wikimedia.org/math/c/f/3/cf31925bb0daa6c6abfd4c30bd530700.png=http://upload.wikimedia.org/math/f/1/7/f1791a09f7dbc85ab3a674a2ddb737a9.png (מויקיפדיה)

תקרא עד הסוף את הערך בויקיפדיה. הם נותנים שם בדיוק את הדוגמא שלי מהקסם ומקבלים מה שקבלתי.

http://en.wikipedia.org/wiki/Improper_integral

• http://upload.wikimedia.org/math/d/f/4/df44876b5b4d4466fcd12a688c470c64.png

כמו שאמרתי, התוצאה של האינטגרל הלא אמיתי הזה תלויה בהגדרת האינטגרל. אפשר להגדיר אותו כך שלא יהיה לו פתרון מוגדר, אבל זו לא הגדרה פרקטית.

נערך בתאריך אפריל 15, 2013 - על-ידי אודי

[littlerunaway]

כי בדוגמא שלך מלכתחילה לקחת את 0 וחילקת אותו לשני אינטגרלים. אני לא מדברת על חיסור של אינטגרל מעצמו.  אני מדברת למשל על האינטגרלים בשאלה המקורית שלי. 

[אודי]

אני לא מדברת על חיסור של אינטגרל מעצמו.  אני מדברת למשל על האינטגרלים בשאלה המקורית שלי. 

אבל כמו שאמרתי, זה לחלוטין מקביל. מכיוון ששני החלקים של האינטגרל מבטלים זה את זה, אני יכול לעשות את החלפת המשתנים המתאימה כדי להציג אותם כאותו אינטגרל פחות עצמו.

הנה, תראי בעצמך

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cunderset%7B0%7D%7B%5Cintop%5E%7B1%7D%7D%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bx%5Cln%20x%7D=%5Cunderset%7B-%5Cinfty%7D%7B%5Cintop%5E%7B0%7D%7D%5Cfrac%7Bdy%7D%7By%7D

כשהשתמשתי בהחלפת המשתנים y=lnx

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cunderset%7B1%7D%7B%5Cintop%5E%7B%5Cinfty%7D%7D%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bx%5Cln%20x%7D=%5Cunderset%7B0%7D%7B%5Cintop%5E%7B-%5Cinfty%7D%7D%5Cfrac%7Bdy%7D%7By%7D=-%5Cunderset%7B-%5Cinfty%7D%7B%5Cintop%5E%7B0%7D%7D%5Cfrac%7Bdy%7D%7By%7D

כשהשתמשתי בהחלפת המשתנים y=-lnx והפכתי את כיוון האינטגרציה כדי להוציא מינוס.

נערך בתאריך אפריל 15, 2013 - על-ידי אודי

[littlerunaway]

למה יש לך מינוס אינסוף בשורה השנייה באמצע אחרי החלפת משתנים?

 

טעות שלי, פיספסתי את המינוס

[littlerunaway]

תשמע, כל מה שאתה אומר הגיוני ברמה מסויימת, אבל מה אני יכולה לעשות ששלושה אנשים אמרו לי במפורש והדגישו שזה לא נכון? 

[אודי]

שכנעתי אותך?