רציפות של נגזרת

[ארז]

אני יודע שקיים משפט שאומר שאם לנגזרת של פונקציה יש נקודת אי רציפות אז זו אי רציפות מסוג שני בלבד (כלומר אי רציפות  "קפיצה" או "סליקה", לא אפשריות).

מישהו יודע מה ההוכחה למשפט?

 

[incog]

תעזר במשפט דארבו

[ארז]

תודה על התשובה המהירה...

עברתי על המשפט וההוכחה אבל אני לא רואה את הקשר לרציפות של הנגזרת. אני לא רואה על איזה שלב בהוכחה זה יכול להשפיע... אשמח להסבר נוסף...

[ohad]

http://i.imm.io/YZWJ.png

עכשיו אני אקרא את זה לוודא שאני מבין 

[incog]

טוב אני אסביר לך איך מראים שהיא לא יכולה להיות סליקה (את יתר המקרים מוכיחים בדיוק באותו אופן)
תהא f  גזירה על כל הישר ונניח בשלילה שיש לה נקודת אי רציפות סליקה  x_0
כלומר  f'(x_0)->L    ו- L שונה מ- f'(x_0 
בה"כ נניח f'(x_0)>L  , כעת על פי הגדרת הגבול קיים r כך שלכל |x-x_0|<r|  מתקיים:
f'(x)<(L+f'(x_0))/2  (+)
עכשיו נסתכל על הקטע: (x_0-r/2,x_0)
על פי משפט דארבו קיים: c בתוך הקטע כך ש:
f'©=(L+f'(x_0))/2 , בסתירה ל- (+)

 

אני מקווה שעכשיו זה מובן.

למעשה מה שמוכיחים הוא הרבה יותר חזק ממה שכתבת, מוכיחים שלא יכול להיות גבול חד צדדי (גם לא במובן הרחב)

[incog]

@@ohad,

זו בהחלט הוכחה נחמדה, אבל זה לא משפט דארבו...זה משפט דארבו:
http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98_%D7%93%D7%90%D7%A8%D7%91%D7%95 

[ohad]

 זה סיכום של המרצה

[dudu1212]

טוב אני אסביר לך איך מראים שהיא לא יכולה להיות סליקה (את יתר המקרים מוכיחים בדיוק באותו אופן)

תהא f  גזירה על כל הישר ונניח בשלילה שיש לה נקודת אי רציפות סליקה  x_0

כלומר  f'(x_0)->L    ו- L שונה מ- f'(x_0 

בה"כ נניח f'(x_0)>L  , כעת על פי הגדרת הגבול קיים r כך שלכל |x-x_0|<r|  מתקיים:

f'(x)<(L+f'(x_0))/2  (+)

עכשיו נסתכל על הקטע: (x_0-r/2,x_0)

על פי משפט דארבו קיים: c בתוך הקטע כך ש:

f'©=(L+f'(x_0))/2 , בסתירה ל- (+)

 

אני מקווה שעכשיו זה מובן.

למעשה מה שמוכיחים הוא הרבה יותר חזק ממה שכתבת, מוכיחים שלא יכול להיות גבול חד צדדי (גם לא במובן הרחב)

אתה יכול לפרט את המשוואות האדומות?

 

תודה

[incog]

משוואה ראשונה:
נובעת מהגדרת הגבול, בחרתי epsilon= (f'(x_0)-L)/2 ואז אתה יודע שקיים r עבור האפסילון כך שלכל |x-x_0|<r| מתקיים:
|f'(x)-L|<epsilon|  ועכשיו תפתח את הערך המוחלט ותעביר אגף ותקבל את הראשון.

 

עבור השני:
מתקיים:
f'(x_0-r/2)<(L+f'(x_0))/2  (על פי המשוואה הראשונה ומכיוון ש: x_0-r/2  נמצא בסביבה ה- r של x_0 
כמו כן: f'(x_0)<(L+f'(x_0))/2   (על פי ההנחה שלנו ש: f'(x_0)>L)
לכן אם נסמן  h=(L+f'(x_0))/2   אזי:
f'(x_0-r/2)<h<f'(x_0)    d  
לכן משפט דארבו אומר לך (תראה את הציטוט המלא בלינק שהבאתי בויקפדיה) שקיים c בין x_0-r/2  לבין x_0   כך ש:
f'©=h 
וזו סתירה (כי |c-X_0|<r| כמובן לכן זו סתירה למשוואה הראשונה)