שתי שאלות באלגברה..

[Hela]

1. יהיו z1 z2 z3 z4 כול הפתרונות המשוואה z^4+81=0 אזי בהכרח מתקיים:

z1.z2.z3.z4=81i

z1z2z3z4=-81

z1z2z3z4=81

z1z2z3z4=-81i

 

למה התשובה כאן צריכה להיות שהמכפלה שווה ל 81 האם זה בגלל שהשורשים הם בטוח שורשים קומפלקסים ולכן יש מספר מרוכב והצמוד שלו מה שמבטיח שהתשובה תהיה חיובית ?

 

עוד שאלה:

 

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?z=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D(1+i)

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?z%5E%7B2012%7D שווה ל:

z^5

z^4

z^3

z^2

z

איך פותרים את זה??

 

 

תודה ..

[stanly]

שאלה 1 , נראה שהפתרון נכון.(וההסבר)

 

שאלה 2: משתמשים בייצוג הפולארי (זה עם האקספוננט) והמחזוריות:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?z%20=%20e%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%20i%20+%202%5Cpi%20ni%7D

 

 

[Hela]

תודה , אבל לא למדנו על ייצוג פולרי באמצעות אקספוננט ..האם יש שיטה אחרת ?

[Paranoid]

זה אותו דבר כמו ייצוג באמצעות סינוס וקוסינוס.

באופן כללי:

e^(ia)=cos(a) +i*sin (a) w

[Hela]

הבנתי אבל איך זה אמור לעזור לי למצוא את z^2012 ?!

 

תודה .

[stanly]

בהצגה פולרית (מה ששמתי) קל מאוד לעשות את החזקה, אפשר לחשב את כולם בדקה ולראות מה שווה למה.

 

למשל

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?(e%5E%7Bi%20%5Cpi%7D)%20%5E%7B1000%7D%20==%20e%5E%7B1000%20%5Cpi%20i%7D%20=%201

[stanly]

אם לא למדתם את זה אז בטח למדת דהמואבר (גם אם לא מזהה את השם, את המשפט בטח למדתם)

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?(rcis(%20%5Ctheta%20))%5En%20=%20r%5Encis(%20%5Ctheta%20n)

 

וזה בדיוק כמו האקספוננט (כלומר אותו עקרון , קל מאוד לחשב חזקות )

[Hela]

בסדר אבל איך זה יוביל אותי לתשובה...? יש פה חזקה שהיא 2012..

[radagast]

אבל אכפת לך רק מהשארית של החלוקה בשני פאי, כל כפולה של זה שאת אוגרת לא משנה את התוצאה. למשל, אם יש לך 5 פאי, אז מספיק לחשב את הערך בפאי, כי 4 הפאי שאגרת חוץ מזה לא משנים את התשובה.

[Hela]

תודה אבל אני לא יודעת להשתמש בנוסחת פאי פשוט לא למדנו את זה .. אני משתמשת בנוסחת דה מואבר.

 

ויוצא לי הדבר הבא: http://www.codecogs.com/gif.latex?z=cis(%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D)=cis(45)

 

עכשיו אם אני מעלה את בחזקת 2012 אני מכפילה את 45 ב2012 ואני לא יודעת למה זה יהיה שווה ...

 

[radagast]

קודם כל, את צריכה להכפיל את הרדיאנים, לא את המעלות.

 

נקבל שצריך לחשב את http://www.codecogs.com/gif.latex?cis%5Cleft(%5Cpi%5Ccdot%5Cfrac%7B2012%7D%7B4%7D%5Cright)

 

עכשיו, נשים לב שמכיוון שמתקיים http://www.codecogs.com/gif.latex?2012/4=503=251%5Ccdot%202+1 , הביטוי שקול לביטוי:

http://www.codecogs.com/gif.latex?cis%5Cleft(%5Cpi%5Ccdot%202%5Ccdot%20251%20+%20%5Cpi%20%5Ccdot%201%20%5Cright)

כלומר:

http://www.codecogs.com/gif.latex?cis%5Cleft(2%5Cpi%5Ccdot%20251%20+%20%5Cpi%C2%A0%20%5Cright)

 

ונשים לב ש-cis זה לא יותר מאשר חיבור של סינוס וקוסינוס, ושתיהן מחזוריות במחזור שני פאי, ולכן כל התוספת של http://www.codecogs.com/gif.latex?2%5Cpi%5Ccdot%20251 לא תשנה את  הערך של הפונקציה, ולכן ניתן להשמיטה, ולחשב רק את:

http://www.codecogs.com/gif.latex?cis%5Cleft(%5Cpi%C2%A0%20%5Cright)