טורים ..

[Hela]

אם http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csum%20a_%7Bn%7D מתבדר אז http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csum%20%5Cfrac%7Ba_%7Bn%7D%7D%7B1+a_%7Bn%7D%7D מתבדר . נכון / לא נכון .. 

 

אני לא מצליחה להגיע להחלטה עזרה בבקשה ..

 

תודה ...

 

 

[incog]

הטור חיובי?

[Hela]

כן 

[Doppelgänger]

אם a_n לא מתכנס ל-0 או שאין גבול בכלל, אז גם http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%20%7Ba_n%7D%20%7Ba_n+1%7D לא מתכנס ל-0, כלומר הטור המבוקש מתבדר. [1*]

אם a_n מתכנס ל-0 אז אפשר להשתמש במבחן ההשואה [הטורים חיוביים, כמו שאמרת]: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B%5Cfrac%20%7Ba_n%7D%20%7B1+a_n%7D%7D%20%7Ba_n%7D=%20%5Cinfty, כלומר הטור המבוקש מתבדר. [2*]

 

מ-[1*] ו-[2*] מסיקים שהטור המבוקש מתבדר בכל מקרה.

 

מקווה שמה שכתבתי נכון, אבל אולי שווה לחכות לתגובה של אינקוג.

[אודי]

ובכן, הדבר השני שכתבת לא נכון. אחרי שאתה מחלק ב-an המנה של האברים הולכת לאחד דווקא, ואם סכום הטור של an מתכנס אז גם הטור השני. מכיוון שהסכום מתבדר גם הטור השני מתבדר במקרה זה.

 

אם an הולך לקבוע חיובי, הטור השני הולך לקבוע חיובי גם הוא והסכומים של שניהם מתבדרים.

אם an הולך לאינסוף, הטור השני הולך לאחד והסכומים של שניהם מתבדרים.

את המקרה שנשאר כיסית בסעיף הראשון שלך.

 

נראה לי גם שהוא מתבדר

נערך בתאריך פברואר 5, 2013 - על-ידי אודי

[Doppelgänger]

אתה צודק [טעות חישוב], בחלק [2*] הגבול אמור להיות 1, ובכל זאת יוצא שהטור מתבדר בכל מקרה.

[אורח incog]

כן, זה גם מה שאני רציתי לכתוב כשחשבתי על זה.

יש עוד משהו קטן שצריך להזהר בו במקרה ש- a_n=0 (ואז אי אפשר לחלק במשהו ששווה לאפס).

אפשר להשתמש באיזשהו טריק ולחבר טור חיובי מתכנס גדול מאפס ולהראות שהוא מתבדר, אבל אני מניח שהתכוונו שהטור גדול ממש מאפס.