טור לייבנץ..

[Hela]

איך פותרים את השאלה הזאת ?? כאילו אני יודעת שהיא קשורה איכשהו לטור לייבנץ ואני יודעת שאני צריכה לבדוק האם הסדרות שכפולות ל מינוס אחד בחזקת n 

שהן סדרות ששואפות לאפס ומונוטוניות יורדות .. אבל זה לא מצליח לי ..

 

תודה ..

 

 

[bubbles]

נכון שאפשר להשתמש בטור לייבניץ

מהי הסדרה an? מהם התנאים על an כך שהטור לייבניץ שלה יתכנס?

[Hela]

אניי יודעת אבל אני לא מצליחהה מישהוו בבקשה אני מתחננתת ..

[Doppelgänger]

כיוון אפשרי: טור טלסקופי.
שווה גם לחזור על המשפטים הרלוונטיים.

[Hela]

תאמין לי שחזרתי על הכול ונסיתי הכול .. בראשון עשיתי ערך מוחלט וראיתי שהסדרה לא שואפת לאפס ולכן הטור אינו מתכנס וגם כאשר אין ערך מוחלט הטור מתבדר  ולכן הטור מתבדר ובשני אני לא מצליחה לראות האם הסדרה מונוטונית יורדת ולכן איני מצליחה להחליט לגביה כלום וגם כאשר יש ערך מוחלט אני מבינה שהיא שואפת לאפס אבל אני לא מבינה באיזה מבחן להשתמש על מנת להוכיח התבדרות או התכנסות שלה ...

 

אני מבקשת מישהו עזרה בבקשה .. :(

[אודי]

נראה לי (ממבט ראשון) שהטור הראשון מתבדר והשני מתכנס.

 

- בטור הראשון, את יכולה לעשות מכנה משותף בין האברים ואז להחליף את המכנה

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csqrt%7B(2n-1)2n%7D

ב-2n, שהוא גדול יותר

http://www.codecogs.com/gif.latex?2n=%5Csqrt%7B(2n)2n%7D

(כלומר, כל אבר בטור החדש שלך קטן בערך מוחלט מאבר בטור הישן).

 

בטור החדש את יכולה לצמצם חזקות ולהיפטר מהמכנה ולהישאר עם

http://www.codecogs.com/gif.latex?n%5E%7B3/4%7D

במונה שמכפיל מספר חיובי כלשהוא ומינוס אחד בחזקה. (ראי תוספת בהודעה השנייה, צריך פה עוד קצת עבודה)

ברור שהאבר הכללי בטור שואף (בערך מוחלט) לאינסוף ולא לאפס ולכן הטור לא יכול להתכנס. וברור שהאבר הכללי קטן בערך מוחלט מאבר בטור המקורי ולכן אותו כנ"ל חל על הטור המקורי. זה סוג של וריאנט על מבחן ההשוואה

 

- בטור השני את יכולה לכתוב את הטור כהפרש בין שני טורים:

http://www.codecogs.com/gif.latex?(-1)%5E%7Bn+1%7D%5Cfrac%7Bn%5E%7B1/4%7D%7D%7B%5Csqrt%7B4n-1%7D%7D

http://www.codecogs.com/gif.latex?(-1)%5E%7Bn+1%7D%5Cfrac%7Bn%5E%7B1/4%7D%7D%7B%5Csqrt%7B4n%7D%7D
 

כל אחד מהטורים האלו מתכנס לפי מבחן לייבניץ כי האבר הכללי שלהם בלי המינוס-אחד-בחזקת חיובי ושואף לאפס, ולכן ברור שגם ההפרש שלהם סופי.

נערך בתאריך פברואר 1, 2013 - על-ידי אודי

[אודי]

צריך עוד תוספת קטנה לחלק הראשון כדי לראות שהטור מתבדר, כי "המספר החיובי" שנשאר שם

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csqrt%7B2n%7D-%5Csqrt%7B2n-1%7D

שואף לאפס. אבל אם תכפילי את המספר הזה ב-

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2n%7D+%5Csqrt%7B2n-1%7D%7D%7B%5Csqrt%7B2n%7D+%5Csqrt%7B2n-1%7D%7D

תקבלי אחד במונה ומשהו שהולך כמו n^1/2 במכנה (אפשר לחזור על הטריק ולהגדיל עוד יותר את המכנה עם החלפה ב-

http://www.codecogs.com/gif.latex?2%5Csqrt%7B2n%7D

כלומר סה"כ נשארת עם אבר כללי בטור החדש מהצורה

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bn%5E%7B3/4%7D%7D%7B2%5Csqrt%7B2n%7D%7D=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Csqrt%7B2%7D%7D%20n%5E%7B1/4%7D

שעדיין מתבדר. ולכן הטור החדש מתבדר ואיתו גם הישן, שאת אבריו חסמנו מלמטה בערך מוחלט..

נערך בתאריך פברואר 1, 2013 - על-ידי אודי

[אודי]

אגב, לדעתי הטור השני מתכנס בהחלט. אם תעשי לו טיפול דומה למה שעשינו לטור הראשון, תראי שאפשר לחסום אותו מלמעלה ע"י טור חזקות שהמקדם שלו (בלי מקדם מספרי ומינוס אחד בחזקת כרגע) הוא

http://www.codecogs.com/gif.latex?n%5E%7B-3/4%7D/%5Csqrt%7B4n-1%7D

שהוא מתכנס בהחלט (לפי מבחן האינטגרל, לדעתי).

נערך בתאריך פברואר 1, 2013 - על-ידי אודי

[Hela]

בשאלה השנייה  כאשר אנו כופלים את מינוס אחד בחזקת n+1 אנו יכולים לעבוד עם כול אחד בנפרד למרות שזה טור אחד .. כי זה טור אחד שיש בו חיסור של שני טורי לייבנץ .. 

[אודי]

כן, אפשר להפריד לשני טורים.

כמובן שאם אלו היו שני טורים מתבדרים זה לא היה עוזר לנו כי זה לא אומר כלום לגבי ההפרש. מכיוון ששניהם מתכנסים ברור שגם ההפרש מתכנס.