עזרה באינטגרלים מוכללים (מתנט חדו"א גליון 12 שאלה 8)

[Dvich]

היי, לא הצלחתי לפתור את שני התרגילים הבאים, אשמח לעזרה! 

(בתרגיל השני הפרדתי לאינטגרל בין 0 ל-1 והוכחתי שמתכנס עבור אלפא קטנה מ-3, אני לא מצליח לבדוק התכנסות עבור אינטגרל בין 1 לאינסוף)

תודה מראש.

[אודי]

לגבי השאלה השנייה - תשתמש במבחן ההשוואה הגבולית באינסוף עם

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bln(x%5E2)%7D%7Bx%5E%7B%20%5Calpha%7D%7D

זה מאפשר לך להוציא את החזקה מה-ln ולקבל אינטגרל מהסוג

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bln(x)%7D%7Bx%5E%7B%20%5Calpha%7D%7D

שפתיר מיידית עבור אלפא שווה לאחד (מתבדר, lnx בריבוע חלקי 2) ובחלקים עבור אלפא גדולה מאחד (ואפשר לראות שמתכנס עבור אלפא גדולה מאחד, עם לופיטל על החלק הראשון מתוצאת האינגרציה בחלקים ואינטרגל פשוט בשני).

נערך בתאריך ינואר 25, 2013 - על-ידי אודי

[אודי]

לגבי התרגיל הראשון, אפשר לראות די מהר שהתשובה היא אחת משתי האחרונות.

1. אם אתה מחלק את תחום האינטגרציה לשניים, 1-2 ו-2 עד אינסוף, ברור שבתחום השני יש התכנסות רק עבור אלפא גדול מאחד (מבחן ההשוואה הגבולי לאיקס בחזקת מינוס אלפא)

2. בתחום הראשון (1-2) אפשר לפתור אנליטית עבור אלפא 2 ולראות שיש התבדרות.

3. ממבחן ההשוואה על האינטגרל בתחום הראשון, אינטגרנדים עם אלפא בין שתיים לאחד יוצאים גדולים יותר מאשר האינטגרנד עבור אלפא 2, כי איקס בחזקת אלפא קרוב יותר לאיקס ולכן המכנה קרוב יותר לאפס.

4. לכן התשובה הנכונה היא שהאינטגרל הכולל מתבדר עבור על אלפא.

[Dvich]

אהלן אודי, גם אם אני מגיע ל-lnx/x^alpha אין לי מושג איך לבדוק התכנסות עבורו וגם לא הצלחתי להבין את ההסבר שלך (כן, אני ממש גרוע בזה).

 

תוכל בבקשה להסביר לי איך אני מברר עבור איזה אלפא האינטגרל מ-1 עד אינסוף של lnx/x^alpha מתכנס?

 

כמו כן, לא הבנתי את סעיף מס' 3 בתגובה האחרונה שלך, אשמח עם תוכל לתת הסבר נוסף.

 

תודה רבה.

[אודי]

האינטגרל הזה פתיר, אנליטית או בחלקים. אתה פותר אותו ומציב את הגבולות ורואה אם התוצאה שאתה מתקבל מתבדרת או לא.

 

1. נזכור שאנחנו מסתכלים רק על האינטגרל מ-1 לאינסוף, כי על האינטגרל מ-0 ל-1 כבר הסתכלת והגעת למסקנה שהוא מתכנס עבור אלפא קטן מ-3.

 

2. אם תגזור את הפונקציה

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B(ln(x))%5E2%7D%7B2%7D

תראה שהנגזרת שלה היא בדיוק

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bln(x)%7D%7Bx%7D

כלומר, עבור אלפא=1 האינטגרל פתיר אנליטית.

כמובן שכאשר אתה מציב את גבולות האינטגרציה ב-

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B(ln(x))%5E2%7D%7B2%7D

אתה מקבל התבדרות, כי ln מתבדר באינסוף (ומתאפס ב-1).

כלומר האינטגרל מתבדר עבור אלפא=1.

 

[אודי]

3. עבור אלפא גדול מ-1, אפשר לפתור את האינטגרל בחלקים. האינטגרל הוא מכפלה של חזקה ב-ln, וקל לעשות אינטגרל על החזקה ומעצבן יותר לעשות על ה-ln. נעשה מה שקל.

 

4. האינטגרציה בחלקים מכילה שני אברים, הראשון מצורת

http://www.codecogs.com/gif.latex?-(%5Calpha-1)%20%5Ctimes%20%5Cfrac%7Bln(x)%7D%7Bx%5E%7B%5Calpha-1%7D%7D

והשני אינטגרל על

http://www.codecogs.com/gif.latex?(%5Calpha-1)%20%5Ctimes%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E%7B%5Calpha%7D%7D

(המינוס נעלם כי יש מינוס לפני האיבר השני באינטגרציה בחלקים)

 

5. האבר הראשון נותן אפס בהצבת גבול האינטגרציה 1 וגבול מהצורה של אינסוף חלקי אינסוף בהצבת גבול האינטגרציה אינסוף. אתה יכול להפעיל לופיטל (כלומר, לגזור את המונה והמכנה ולהסתכל על מנת הנגזרות) ולראות שהגבול הזה סופי ומתאפס עבור אלפא גדולה מ-1.

 

6. האבר השני (האינטגרל) פתיר אנליטית, וגם שם אתה יכול לראות שהפתרון, שפרופורציוני ל-x^(1-alpha), מתכנס עבור אלפא גדול מ-1.

 

7. כלומר, סה"כ קבלנו שעבור אלפא=1 האינטגרל מתבדר ועבור אלפא גדול מ-1 האינטגרל סופי ומתכנס.

 

8. בחיבור עם התוצאה הראשונה שלך קבלנו שהאינטגרל כולו, כולל האינטגרציה על 0-1, מתכנס עבור אלפא בין 1 ל-3.

 

9. הבעייה היחידה שיכולה להיות בחישוב הזה היא אם החלוקה שעשינו גורמת לכך שלמרות שהאינטגרל בין 0-1 והאינטגרל בין 1 לאינסוף מתבדרים הסכום שלהם מתכנס, כי הם שונים בסימן. הראשון שלילי והשני חיובי. אבל מכיוון שהתשובה היחידה שכוללת את התחום 1-3 היא זו שכבר הגענו אליה, היא כנראה התשובה הנכונה ואין הפתעות מסריחות כאלו

נערך בתאריך ינואר 28, 2013 - על-ידי אודי

[אודי]

כמו כן, לא הבנתי את סעיף מס' 3 בתגובה האחרונה שלך, אשמח עם תוכל לתת הסבר נוסף.

 

א. אנחנו מסתכלים על מבחן ההשוואה בין האינטגרל על

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2-x%7D

שהוכחנו בסעיף 2 שהוא מתבדר ע"י פתרון אנליטי

לבין האינטגרל על

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E%7Bp%7D-x%7D

עבור

http://www.codecogs.com/gif.latex?1

 

ב. מכיוון ש-x שלנו הוא מספר גדול מאחד, כאשר מעלים אותו בריבוע מקבלים תוצאה גדולה יותר מאשר כאשר מעלים אותו בחזקה קטנה יותר.

 

 

ג. לכן, המכנה של האינטגרנד גדול יותר ב-

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2-x%7D

מאשר במקרה שבו החזקה קטנה מ-2

 

ד. לכן האינטגרנד עצמו קטן יותר ב-

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2-x%7D

מאשר במקרה שבו החזקה קטנה מ-2

 

ה. חסמנו מלמטה את האינטגרל עבור

http://www.codecogs.com/gif.latex?1

ע"י אינטגרל שאנחנו יודעים שהוא מתבדר. מכאן שגם האינטגרל שחסמנו מתבדר.

 

ו. קבלנו שלכל

http://www.codecogs.com/gif.latex?1

האינטגרל מתבדר, וסה"כ מאלימינציה מתקבל שהוא מתבדר לכל p (את התחום הגדול מ-2 לא בדקנו, אבל אין צורך לפי התשובות לשאלה)

נערך בתאריך ינואר 26, 2013 - על-ידי אודי

[Dvich]

תודה רבה אודי! אני נדהם מההשקעה, אתה ממש עושה פה עבודת קודש.