עוד שאלת אינטגרלים

[littlerunaway]

מישהו יכול לעזור לי עם השאלה הזאת:

http://i.imgur.com/PgT6uIC.jpg

[incog]

טוב הרעיון הוא כזה: אני אסמן את האינטגרל מ-0 עד x^2 של g(t) d ב- K(x) d  (זו כמובן פונקציה ביחס ל-x)
שימי לב שלפי כלל השרשרת+ המשפט היסודי של החדו"א הנגזרת של k(x) d  היא:   g(x^2)2x
כעת נגדיר פונקציה חדשה: H(x)=x-k(x)  d 
שימי לב שלמשוואה יש פתרון a אמ"מ 0=(H(a  (זה ישירות מההגדרה כי במקרה הזה: k(a)=a)
כעת נגזור את H' ונקבל לפי מה שאמרנו מקודם כי:
H'(x)=1-g(x^2)2x>=0     (מהנתון שיש לנו על g(x) d שחסומה על ידי השורש)
לכן מתקיים כי H' מונוטונית עולה.

כמו כן אנחנו יודעים ש: H(0)=0 (מכיוון ש: k(0)=0), לכן אם קיים עוד a בין 0 ל-1 כך ש: H(a)=0  אזי בהכרח H קבועה על הקטע מ-0 עד a.
 

אבל שימי לב ש: 1/2sqrt(x)  d  שואף לאינסוף כש- x שואף לאפס, ועל פי הנתון g(x) d  רציפה בקטע הסגור [0,1]  (בפרט יש לה גבול סופי ב-0)
לכן קיים איזשהו  e בין 0 ל-1 כך ש: g(e)  d  קטן ממש- 1/2sqrt(e)   d 
ולכן (מאותם שיקולים כמו מיקודם) H'(e)<0    (שוב זה קטן ממש!) , כלומר קיימת סביבה של e שבה H יורדת ממש , בסתירה לכך ש: H קבועה בקטע בין 0 ל-a.

[littlerunaway]

לא הבנתי שני דברים

למה (H'(x  גדולה/שווה לאפס.

וגם בשורה האחרונה לא הבנתי למה בנקודה e הנגזרת שלילית, ולמה זו סתירה לעובדה שבין 0 ל-1 יש איזשהו קטע שבו הפונקציה קבועה. למה e נמצא בקטע מ-0 עד a?

[incog]

1) מתקיים ש:
H'(x)=1-k'(x)  d
כעת לפי החישוב למעלה: 
k'(x)= g(x^2)2x
אבל את יודעת (לפי הנתון ש:
g(x^2)<=1/2x   (תציבי בנתון x^2 במקום x)
לכן:   k'(x)<=1 
ומתקיים ש:
H'(x)=1-k'(x) => 1-1=0  

2) אני התבלבלתי בין קטן לגדול אז אני אכתוב את זה שוב:

אבל שימי לב ש: 1/2sqrt(x)  d  שואף לאינסוף כש- x שואף לאפס, ועל פי הנתון g(x) d  רציפה בקטע הסגור [0,1]  (בפרט יש לה גבול סופי ב-0)
לכן קיים איזשהו  e בין 0 ל-1 כך ש: g(e^2)  d  קטן ממש- 1/2e  d 
ולכן (מאותם שיקולים כמו מיקודם) H'(e)>0    (שוב זה גדול ממש!) , כלומר קיימת סביבה של e שבה H עולה ממש , בסתירה לכך ש: H קבועה בקטע בין 0 ל-a.

זה עולה ממש בדיוק כמו בחישוב ב-1:
k'(e)= g(e^2)2e>1   (כי: g(e^2)<1/2e)
 

 

 

[littlerunaway]

אני לא מבינה איך אתה מסיק ש-g(x^2)<=1/2x . איך אתה יכול פשוט להציב x^2  בלי לדעת שום דבר על (g(x

[littlerunaway]

ושוב, אם קיימת e כזאת, למה אתה מסיק שהיא נמצאת בקטע מ-0 עד a?

[incog]

את יודעת על פי הנתון ש:
g(x)<= 1/2sqrt(x)   d   לכן אם תציבי  x^2  תקבלי:

g(x^2)<=1/2sqrt(x^2)=1/2x

מכיוון ש: 1/2x שואף לאינסוף כש-x שואף לאפס ו- g(x) d  שואף לגבול סופי (היא רציפה ב-0)
אז את יודעת שקיימת סביבה של אפס כך שלכל x בסביבה הזאת מתקיים:
g(x^2)<1/2x  

 

בפרט מכיוון ש- a>0  תבחרי e בסביבה הזו  שקטן מ a  (יש לך סביבה שבה כל מספר יקיים זאת, אז בפרט את יכולה לבחור מישהו אחד כזה).
כלומר שוב:
קיימת איזשהי דלתא כך שלכל x בין 0 לדלתא מתקיים:
g(x^2)<1/2x  , בפרט אם a>0  תבחרי e שקטן מהמינימום של a ודלתא ואז זה יהיה בסדר...