התכנסות אנטגרלים ..

[Hela]

אני יודעת שאני שואלת הרבה מאוד שאלות ואני מצטערת :(

 

יש לי שלוש שאלות :

 

 

הפתרון שלי:

 

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cint_%7B1%7D%5E%7B%5Cinfty%20%7D%20%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bxln%5E%5Calpha(x)%7D=

 

נציב http://www.codecogs.com/gif.latex?t=ln(x)

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bx%7D=dt

http://www.codecogs.com/gif.latex?t=ln(x)

http://www.codecogs.com/gif.latex?t_%7Bi%7D=%20ln1=0

http://www.codecogs.com/gif.latex?t_%7Bn%7D=%20ln%5Cinfty%20=%5Cinfty

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%20%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%5E%5Calpha%7D=%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%5E%5Calpha%7D%20+%20%5Cint_%7B1%7D%5E%7B%5Cinfty%20%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%5E%5Calpha%7D

 

בחלק הראשון כאשר http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Calpha%20

והשני http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Calpha%20

 

עכשיו השאלה השנייה:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%5Cfrac%7Bsin%5E%5Cbeta%20x%7D%7Bx(1-x)%5E%5Cbeta%20%7D

 

נשתמש במבחן ההשוואה הגבולי:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%200%7D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7Bsin%5E%5Cbeta%20x%7D%7Bx(1-x)%5E%5Cbeta%20%7D%7D%7B%5Cfrac%7Bx%5E%5Cbeta%20%7D%7Bx%7D%7D=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B(1-x)%5E%5Cbeta%20%7D=%201

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E%7B%5Cbeta%20-1%7D%7D

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cbeta%20-1

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cbeta%20

 

והשלישית :

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%20%7D%20%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bx%5E%5Calpha%20(1+x)%5E%5Cbeta%20%7D

 

נשתמש במבחן ההשוואה הגבולי:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7D%20%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E%5Calpha%20(1+x)%5E%5Cbeta%20%7D%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E%7B%5Calpha%20+%5Cbeta%20%7D%7D%7D=%20%5Cfrac%7Bx%5E%5Cbeta%20%7D%7B(1+x)%5E%5Cbeta%20%7D=%201

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%20%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E%7B%5Calpha%20+%5Cbeta%20%7D%7D

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%20%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E%7B%5Calpha%20+%5Cbeta%20%7D%7D=%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%20%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E%7B%5Calpha%20+%5Cbeta%20%7D%7D%20+%20%5Cint_%7B1%7D%5E%7B%5Cinfty%20%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E%7B%5Calpha%20+%5Cbeta%20%7D%7D

 

החלק הראשון כאשר http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Calpha%20+%5Cbeta%20 והחלק השני כאשר http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Calpha%20+%5Cbeta%20

 

אני מקווה שזה בכיוון :( ותודה רבה רבה 

 

[אודי]

הפתרון הראשון נראה בסדר, מעבר לזה שהחיתוך של שני התחומים של אלפא הוא כמובן קבוצה ריקה (האינטגרל מתבדר לכל אלפא).

בפתרון השני נראה לי לכאורה שהתבלבלת בהשוואה שלך - האינטרנד שאת בודקת במבחן ההשוואה הגבולי הוא לא האינטגרל שאת עושה בסוף, אלא בדיוק ההופכי שלו. מה גם שהשימוש במבחן הזה בעייתי פה כי גם הגבול ב-1 בעייתי והיחס בין האינטגרנדים שם מתבדר.

בפתרון השלישי מבחן ההשוואה הגבולי נראה לי בעייתי כי שני האינטגרנדים מתבדרים ב-0 והגבול ביניהם הוא אפס..

נערך בתאריך ינואר 25, 2013 - על-ידי אודי

[Hela]

נכון התבלבלתי באינטגרל השני אז הוא צריך להיות כך : 1 חלקי איקס בחזקת 1 מינוס ביתתא  .. ולכן 1 מינוס ביתתא קטן מאחד ולכן ביתתא גדול מאפס .. 

 

והשלישי למה הוא לא מתכנס ל1 הרי איקס בחזקת ביתתא חלקי איקס בחזקת ביתתא יהיה שווה ל 1  ( כאשר איקס שואף לאינסוף ) 

 

לא?

[אודי]

בשני התרגילים, 2 ו-3, את משתמשת במבחן ההשוואה הגבולית בצד אחד של האינטגרל ומתעלמת מכך שגם הצד השני בעייתי ושתנאי מבחן ההשוואה הגבולי לא מתקיימים שם.

בתרגיל השני היחס בין הפונקציות שלך ב-x=1 הוא אינסוף.

בתרגיל השלישי היחס בין הפונקציות שלך ב-x=0 הוא אפס.

אם את מתעקשת על מבחן ההשוואה הגבולי, את צריכה לחלק את תחום האינטגרציה שלך בכל בעייה לשניים ובכל חצי להשוות לפונקצייה אחרת שגבול המנה שלה עם הפונקצייה המקורית בקצה הרלוונטי של התחום סופי ושונה מאפס.

[אודי]

...או למצוא פונקציות אחרות שמקיימות את תנאי מבחן ההשוואה הגבולי בשני הקצוות של תחום האינטגרציה, כמובן.

[אודי]

את צריכה לחלק את תחום האינטגרציה שלך בכל בעייה לשניים ובכל חצי להשוות לפונקצייה אחרת שגבול המנה שלה עם הפונקצייה המקורית בקצה הרלוונטי של התחום סופי ושונה מאפס.

 

נראה לי שזה הכיוון לפתרון בשני התרגילים. בתרגיל השני, חלקי לשני תחומים:

בין 0 ל-1/2 השווי לפונקצייה שכבר השווית אליה

http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E%7B%20%5Cbeta-1%20%7D

וקבלי תנאי אחד על בטא;

בין 1/2 ל-1 השווי ל

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7B(1-x)%5E%7B%20%5Cbeta%7D%7D

וקבלי תנאי אחר. החיתוך של שני התנאים ייתן לך את התחום החוקי.

 

בתרגיל השלישי חזרי על אותו טריק עם הפונקציה

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E%7B%20%5Calpha%20%7D%7D

בתחום בין 0 ל-1

והפונקציה המקורית שהצעת בתחום בין אחד לאינסוף.

נערך בתאריך ינואר 25, 2013 - על-ידי אודי

[Hela]

נכון מאוד תיקנתי את השני .. נקווה שזה נכוןן :( 

 

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%20%7D%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bx%5E%5Calpha(1+x)%5E%5Cbeta%20%7D

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%200%7D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E%5Calpha%20(1+x)%5E%5Cbeta%20%7D%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E%5Calpha%20%7D%7D=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%20(1+x)%5E%5Cbeta%20%7D=%201

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%20%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E%5Calpha%7D=%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%20%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E%5Calpha%7D+%20%5Cint_%7B1%7D%5E%7B%5Cinfty%20%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E%5Calpha%7D

ולכן אלפא קטן מאחד בראשון ובשני גדול מאחד 

 

 

[Hela]

אה לא ראיתי שפתרת למעלה..

[Hela]

תודה רבה אז בשאלה השניה ביתתא יוצאת בין 0 ל 1 והטור מתכנס והשלישית יוצאת שהאינטגרל מתבדר כי שתי האלפות אחת קטנה מאחד והשניה גדולה מאחד וכנ"ל עם השאלה 1  ( מתבדר לאותו סיבה ) ???

 

תודה 

[אודי]

בשנייה נכון. אני לא רואה איך את מקבלת שהאינטגרל חייב להתבדר בשאלה השלישית. תנאי אחד הוא

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Calpha

ותנאי שני הוא

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Calpha+%5Cbeta

החיתוך של שני התנאים האלו הוא לא קבוצה ריקה. למשל אלפא 1- ובטא 3 עונים על שניהם.

 

לא הבנתי מה הבעייה עם השאלה הראשונה, אמרנו שפתרת אותה נכון

:scratch:

[Hela]

אבל באינטגרל השלישי באינסוף אין לנו בעיה כי הגבול אם נשאיף את הפונקציה לאינסוף נקבל גבול שהוא 0 ....

[אודי]

אי אפשר להשתמש בפונקציה שנותנת גבול שהוא אפס במבחן ההשוואה הגבולי

וכאמור, לא ברור לי איך את מגיעה לזה שאין פתרון, כי לפי הדרך שלי יש...

[Hela]

לאא , אני לא מדברת  על מבחן ההשוואה הגבולי , אני מדברת על האינטגרל עצמו מ 0 עד אינסוף בשאלה השלישית ב0 ברור שיש בעיה כי זה מתבדר לאינסוף אם " מציבים " 0 אבל באינסוף אין בעיה כי אם " מציבים" אינסוף מקבלים 0 ( יש גבול סופי ) לפונקציה ולכן אין לה בעיה באינסוף כי היא לא מתבדרת או שחייבים תמיד לבדוק באינסוף ללא תלות אם יש לה בעיה או אין לה?

[אודי]

צריכים תמיד לבדוק שאינטגרל של פונקציה חיובית על קטע אינסופי לא מתבדר.

תסתכלי על הפונקציה אחד חלקי איקס.

הגבול שלה אפס באינסוף אבל האינטגרל שלה מ-1 עד אינסוף מתבדר (ln).

ולכן צריך לפתור את השאלה השלישית בחלוקה לשני קטעים.

[Hela]

תודה רבה ... אז איך מגלים בעיות .. אינסוף תמיד תהיה בעיה וגם כאשר יש 1 חלקי 0 ???

[אודי]

תחום אינטגרציה אינסופי או ערך אינסופי של פונקציה בנקודה מסויימת. לא נראה לי שיש עוד דברים.

[stav]

בשאלה השנייה עם הסינוסים, איך מתקבל התנאי שבטא קטנה מ-1?

הגעתי לאינטגרל בין 1/2 ל b של 1 חלקי (1-x) בחזקת בטא...

 

תודה!

[אודי]

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7B(1-x)%5E%7B%5Cbeta%7D%7D

אתה מתכוון, לא?

האינטגרל הזה פתיר אנליטית. אם בטא שווה לאחד הוא

http://www.codecogs.com/gif.latex?-ln(1-x)

אחרת הוא

http://www.codecogs.com/gif.latex?-%5Cfrac%7B1%7D%7B(%5Cbeta-1)(1-x)%5E%7B%5Cbeta-1%7D%7D

כשאתה מציב את הגבולות אתה רואה שהפתרון ה-ln-י מתבדר והשני מתכנס רק עבור בטא קטן מאחד, אחרת אתה מקבל אפס במכנה.

נערך בתאריך ינואר 26, 2013 - על-ידי אודי