חדווא, אינטגרלים

[littlerunaway]

איך עושים אינטגרל של הדבר הזה:

 

http://i.imgur.com/Mtw5txp.jpg

[אודי]

אני לא רואה פתרון טוב יותר מלפרק את המונה לסכום של סינוס וקוסינוס בריבוע ולהשתמש בזהויות טריגונומטריות (למשל, סינוס של 2x) עד שמקבלים אינטגרלים פתירים, ולו בחלקים.

[littlerunaway]

ניסיתי אבל אני לא מצליחה להגיע למשהו שאני יודעת לפתור.

[אודי]

מהפירוק הראשון את מקבלת Cos^-4 ו-(Sin^-2Cos^-2).

ב- cos^-4 שצריך לחלק את המכנה שוב - נותן Cos^-2 שפתיר אנליטית וsin^2cos^-4 שפתיר בחלקים, לדעתי (לא ניסיתי).

ב-(Sin^-2Cos^-2) צריך להמיר ל-(Sin2X)^-2  שגם פתיר אנליטית.

[pliplu]

בדקתי בוולפראם סתם בשביל הקטע והוא מציע משהו פשוט יותר

משתמשים בזהויות :

http://www.codecogs.com/gif.latex?1/cos%5E2(x)=1+tan%5E2(x),%C2%A01/sin%5E2(x)=1+cot%5E2(x)

 

מציבים u במקום קוטנגס או משהו כזה ומשם כבר אמור להיות קל...

[littlerunaway]

אני מצטערת אבל " או משהו כזה" לא באמת עוזר לי 

[אודי]

אני רואה למה הכוונה שם. בגלל שהנגזרת של ctg היא cos^-2-, כשאת עושה את ההצבה הזו (u=ctg x) את נשארת עם אינטגרל פשוט של המכפלה

http://www.codecogs.com/gif.latex?-(1+u%5E2)(1+u%5E%7B-2%7D)=-2-u%5E2-u%5E%7B-2%7D

נערך בתאריך ינואר 23, 2013 - על-ידי אודי