חדו"א אנטגרלים מתכנסים ..

[Hela]

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%20sin%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D

 

 

צריך להראות שהאינטגרל הזה מתכנס או לא אבל אני לא מצליחה למצוא דוגמא שאוכל להשוות דרכה או לעשות למשל השוואה גבולית וכו' 

ידוע ש- http://www.codecogs.com/gif.latex?%7Csinx%7C אז זה אומר ש - http://www.codecogs.com/gif.latex?sin%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D אבל 1 חלקי איקס מתבדר בין 0 ל 1 אז זה לא עוזר לי ..

 

 

ולאינטגרל הזה אני לא מוצאת שום דבר להשוות דרכו ...

 

תודה לכול העוזרים..

[incog]

זה נכון הכיוון שלך: מתקיים ש: sin1/x לחלק לאחד חלקי איקס שואף ל-1 כש-x  שואף לאפס.
ומכיוון שבסביבות 0 הפונקציה חיובית אזי האינטגרלים מתכנסים\מתבדרים ביחד.

[אודי]

זה נכון הכיוון שלך: מתקיים ש: sin1/x לחלק לאחד חלקי איקס שואף ל-1 כש-x  שואף לאפס.

 

מה? לא

היחס שואף ל-1 כש-X שואף לאינסוף ו-x^-1 שואף לאפס. כש-x שואף לאפס x^-1 שואף לאינסוף והסינוס שלו לא שואף לשום דבר במיוחד.

הפתרון שאני רואה הוא החלפת משתנים y=1/x, ואז מתקבל אינטגרל מ-1 לאינסוף על sin(y)/y^2. הערך מוחלט של האינטגרל הזה חסום מלמעלה ע"י האינטגרל על y^-2 באותו תחום שהוא סופי.

[incog]

כן, אתה צודק כמובן.

[Hela]

תודה והשני ??

[אודי]

לא ראיתי שיש שם עוד אחד

:oops:

האינטגרנד הוא בעצם:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5Csqrt_%7B1-x%7D%7D

 

מכיוון ש-x בין 1/2 ל-1 אז x^-1 בין 1 ל-2 ואפשר לחסום מלמעלה את הערך המוחלט של האינטגרנד ב-

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Csqrt_%7B1-x%7D%7D

האינטגרל על האינטגרנד הזה בין 1/2 ל-1 מתכנס ופתיר אנליטית עם החלפת המשתנים y=1-x.

נערך בתאריך ינואר 22, 2013 - על-ידי אודי

[אורח אורח]

למישהו במקרה יש רעיון עם מה אפשר להשוות את הטור http://i.imgur.com/28Lcaoh.png כדי להוכיח שהוא מתכנס?

[אודי]

אפשר להשתמש בזהות טריגונומטרית:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?1-cos(%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7Bn%7D)=2sin%5E2(%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2n%7D)

 

ואז להשתמש ב-

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?sin%5E2(%5Calpha)%5Cleq%5Calpha%5E2

 

אני חושב שזה יעזור כי לזכרוני הטור n^-2 מתכנס.

נערך בתאריך ינואר 22, 2013 - על-ידי אודי

[Hela]

לא ראיתי שיש שם עוד אחד

:oops:

האינטגרנד הוא בעצם:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5Csqrt_%7B1-x%7D%7D

 

מכיוון ש-x בין 1/2 ל-1 אז x^-1 בין 1 ל-2 ואפשר לחסום מלמעלה את הערך המוחלט של האינטגרנד ב-

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Csqrt_%7B1-x%7D%7D

האינטגרל על האינטגרנד הזה בין 1/2 ל-1 מתכנס ופתיר אנליטית עם החלפת המשתנים y=1-x.

תודה רבה לך!!

 

אי אפשר להשוות את זה למשהו אחר יותר קל לראות את התכנסותו כי כאן זה לא ברור מאליו  שזה מתכנס ... ??

[אודי]

לא שאני רואה. אי אפשר להחליף את השורש (חזקת חצי) בחזקת אחד כי האינטגרל הזה (אחרי שהחלפת את השורש בחזקת אחד ואת אחד חלקי איקס ב-2) מתבדר.