חדו"א 2מ - גליון פתוח 3

[Onca]

מישהו מבין מה עושים פה?

http://up361.siz.co.il/up2/xnyyhyjuwywm.jpg

 

תודה !

[Doppelgänger]

בוא נראה:

 

יש לנו את P שהוא מישור משיק למשטח xyz=a בנקודה מסויימת, ויש לנו את שלושה מישורים x=0, y=0, z=0. רוצים שתוכיח כי הנפח החסום ע"י 4 המישורים האלו לא תלוי בנקודה ההשקה, כלומר P יכול "לצאת" מכל נקודה על המשטח xyz=a [כל עוד היא בשמינית "הנכונה"] ועדיין תקבל אותו נפתח.

 

מה שעולה לי לראש זה לחשב נפח [אינטגרל משולש] ולראות שהנפח לא תלוי בנקודה בה P משיק למשטח xyz=a.

[Onca]

התרגיל הזה הוא תרגיל על חומר שלפני חומר של אינטגרלים....אז לא נראה לי שצריך להשתמש באינטגרל....

[Doppelgänger]

לא ברור לי איך אפשר לדבר על נפח בלי שהוגדר האינטגרל המשולש.

[Onca]

שים לב שאם המישור המשיק לא היה מוזכר, הנפח החסום במישורי הקורדינטות היה תמיד a (ללא קשר לנקודת ההשקה).

[LmdL]

משוואת מישור המשיק למשטח http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x,y,z)=C בנקודת השקה http://www.codecogs.com/gif.latex?P_0(x_0,y_0,z_0):

http://www.codecogs.com/gif.latex?f_x%5E%7B'%7D%20%5Cleft(%20%7BP_0%20%7D%20%5Cright)%20%5Ccdot%20%5Cleft(%20%7Bx%20-%20x_0%20%7D%20%5Cright)%20+%20f_y%5E%7B'%7D%20%5Cleft(%20%7BP_0%20%7D%20%5Cright)%20%5Ccdot%20%5Cleft(%20%7By%20-%20y_0%20%7D%20%5Cright)%20+%20f_z%5E%7B'%7D%20%5Cleft(%20%7BP_0%20%7D%20%5Cright)%20%5Ccdot%20%5Cleft(%20%7Bz%20-%20z_0%20%7D%20%5Cright)%20=%200

 

במקרה שלך מקבלים:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cnabla%20f%20=%20%5Cleft.%20%7B%5Cleft(%20%7Byz%5Chat%20i%20+%20xz%5Chat%20j%20+%20yx%5Chat%20k%7D%20%5Cright)%7D%20%5Cright%7C_%7BP_0%20%7D%C2%A0%20=%20y_0%20z_0%20%5Chat%20i%20+%20x_0%20z_0%20%5Chat%20j%20+%20y_0%20x_0%20%5Chat%20k

 

משוואת מישור המשיק היא:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?y_0%20z_0%C2%A0%20%5Ccdot%20%5Cleft(%20%7Bx%20-%20x_0%20%7D%20%5Cright)%20+%20x_0%20z_0%C2%A0%20%5Ccdot%20%5Cleft(%20%7By%20-%20y_0%20%7D%20%5Cright)%20+%20y_0%20x_0%C2%A0%20%5Ccdot%20%5Cleft(%20%7Bz%20-%20z_0%20%7D%20%5Cright)%20=%200

 

בגלל שנקודה http://www.codecogs.com/gif.latex?P_0 נמצאת על המשטח, ניתן לרשום http://www.codecogs.com/gif.latex?z_0=%20%5Cfrac%7Ba%7D%7By_0%20x_0%20%7D ונקבל:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?y_0%20%5Cfrac%7Ba%7D%7B%7Bx_0%20y_0%20%7D%7D%20%5Ccdot%20%5Cleft(%20%7Bx%20-%20x_0%20%7D%20%5Cright)%20+%20x_0%20%5Cfrac%7Ba%7D%7B%7Bx_0%20y_0%20%7D%7D%20%5Ccdot%20%5Cleft(%20%7By%20-%20y_0%20%7D%20%5Cright)%20+%20y_0%20x_0%C2%A0%20%5Ccdot%20%5Cleft(%20%7Bz%20-%20%5Cfrac%7Ba%7D%7B%7Bx_0%20y_0%20%7D%7D%7D%20%5Cright)%20=%200

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Ba%7D%7B%7Bx_0%20%7D%7D%20%5Ccdot%20%5Cleft(%20%7Bx%20-%20x_0%20%7D%20%5Cright)%20+%20%5Cfrac%7Ba%7D%7B%7By_0%20%7D%7D%20%5Ccdot%20%5Cleft(%20%7By%20-%20y_0%20%7D%20%5Cright)%20+%20y_0%20x_0%C2%A0%20%5Ccdot%20%5Cleft(%20%7Bz%20-%20%5Cfrac%7Ba%7D%7B%7Bx_0%20y_0%20%7D%7D%7D%20%5Cright)%20=%200

 

ומשוואת המישור המשיק היא:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Ba%7D%7B%7Bx_0%20%7D%7Dx%20+%20%5Cfrac%7Ba%7D%7B%7By_0%20%7D%7Dy%20+%20y_0%20x_0%20z%20=%203a

 

איפה המישור הנ"ל חותך את הצירים? בנקודות http://www.codecogs.com/gif.latex?(3x_0,%200,0),%20(0,%203y_0,0),%20(0,0,%20%5Cfrac%7B3a%7D%20%7Bx_0%20y_0%7D%20).

 

מה הנפח החסום? הנפח החסום הוא נפח של טטראדר (ארבעון) ולכן:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?V%20=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7DS%20%5Ccdot%20h%20=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cleft(%20%7B%5Cfrac%7B%7B3x_0%20%5Ccdot%203y_0%20%7D%7D%7B2%7D%7D%20%5Cright)%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B%7B3a%7D%7D%7B%7Bx_0%20y_0%20%7D%7D%20=%20%5Cfrac%7B9%7D%7B2%7D

[Onca]

אלוף !!! תודה רבה !!!