מציאת השדה המגנטי במרכז קליפה כדורית מסתובבת

[אודי ב]

נתונה קליפה כדורית הטעונה במטען Q.

הקליפה מסתובבת סביב ציר ה z בתידרות זוויתית omega.

צריך למצוא את השדה המגנטי במרכז הקליפה.

 

אני רוצה לפתור את השאלה הזו בעזרת הנוסחה הבאה, שמשתמשת בצפיפות הזרם המשטחית:

http://www.codecogs.com/gif.latex?B%5Cleft%20(%20%5Cvec%20r%20%5Cright%20)=%5Cfrac%7B%5Cmu_0%7D%7B4%5Cpi%7D%5Cint%20%5Cfrac%7B%5Cvec%20K%5Cleft%20(%20%5Cvec%20r%5E%5Cprime%20%5Cright%20)%5Ctimes(%5Cvec%20r%20-%5Cvec%20r%5E%5Cprime)%7D%7B(%5Cvec%20r%20-%5Cvec%20r%5E%5Cprime)%5E3%7Dda%5E%5Cprime

אם ראשית הצירים נמצאת במרכז הקליפה, אז

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%20r=%5Cleft%20(%200,0,0%20%5Cright%20)

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%20r%5E%5Cprime=%5Cleft%20(%20%5Csin%20%5Ctheta%20%5Ccos%20%5Cphi,%5Csin%20%5Ctheta%20%5Csin%20%5Cphi%20,%5Ccos%20%5Ctheta%20%5Cright%20)

ו-

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%20K%5Cleft%20(%20%5Cvec%20r%5E%5Cprime%20%5Cright%20)=%5Csigma%5Cleft%20(%5Cvec%20r%5E%5Cprime%20%5Cright%20)%5Cvec%20v%20%5Cleft%20(%20%5Cvec%20r%5E%5Cprime%20%5Cright%20)=%5Csigma%20%5Comega%20R%20%5Csin%20%5Ctheta%5E%5Cprime%20%5Chat%20%5Cphi%5E%5Cprime=%5Csigma%20%5Comega%20R%5Cleft%20(%20-%5Csin%20%5Cphi%5E%5Cprime%20,%5Ccos%20%5Cphi%5E%5Cprime,0%20%5Cright%20)

 

והנוסחה מקבלת את הצורה הבאה:

 

ביצוע המכפלה הוקטורית, ואחר כך חישוב של כל אחד מהרכיבים של האינטגרל אם ידוע כי http://www.codecogs.com/gif.latex?da=R%5E2%20%5Csin%20%5Ctheta%20d%5Ctheta%20d%5Cphi

נותן 0 לכל רכיב, שזה לא נכון.

 

התשובה היא 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%20B%5Cleft%20(%200%20%5Cright%20)=%5Cfrac%7B%5Cmu_0%20Q%20%5Comega%7D%7B6%5Cpi%20R%7D%20%5Chat%7B%5Cmathbf%7Bz%7D%7D

אני חושב שהטעות שלי נמצאת בבחירה של K. מישהו יכול להצביע על הטעות שלי?

** דרך אגב, ראיתי פתרון לשאלה הזו באמצעות סכימה על השדה של טבעות זרם מה"קוטב" העליון לתחתון.

אני מתעקש לפתור את השאלה בדרך שהראיתי כאן עם הביטוי ל-K.