עזרה

[loads]

היי

מישהו ?

תודה     :anger:

[אודי]

כנראה שאפשר להוכיח שהפונקצייה הסתומה הזו עומדת בתנאי משפט הפונקציות הסתומות, אחרת התרגיל לא פתיר.

בכל מקרה, אין צורך שנטריח את עצמנו בזה. נניח שכן ונראה שזה מוביל לתשובה.

 

אנחנו מניחים שקיימת פונקצייה y=f(x) שמתאימה לפונקצייה הסתומה הזו בסביבת הנקודה http://www.codecogs.com/gif.latex?(x_0,y_0)=(%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D,0) וצריך למצוא את הנגזרת שלה, http://www.codecogs.com/gif.latex?y', שמתאימה לשיפוע המשיק המבוקש L.

 

הפונקציה הסתומה שלנו היא:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csin(2x+y)+xy=0

 

נגזור אותה לפי x בעזרת כלל השרשרת (את התלות ב-x קל לגזור, כשגוזרים את y לפי x מכפילים בנגזרת הפנימית http://www.codecogs.com/gif.latex?y'):

 

מקבלים:

http://www.codecogs.com/gif.latex?2%5Ccos(2x+y)+%5Ccos(2x+y)y'+y+xy'=0

 

ומכאן

http://www.codecogs.com/gif.latex?y'=-%5Cfrac%7By+2%5Ccos(2x+y)%7D%7Bx+%5Ccos(2x+y)%7D=-%5Cfrac%7B0-2%7D%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-1%7D=%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-1%7D

 

המשוואה של המשיק היא:

http://www.codecogs.com/gif.latex?y=y'(x-x_0)+y_0=%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-1%7D(x-%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D)

 

והוא חותך את ציר y בנקודה שבה x=0, שיוצאת:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?y=%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-1%7D(0-%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D)=%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B2-%5Cpi%7D