אלגברה - עזרה

[loads]

שלום לכם

אפשר עזרה בשאלה 41 ??

 

תודה מראש :)

[אודי]

א. המשוואה הזו היא השורה היחידה השונה מאפס במטריצה 3X3 שמתארת מערכת משוואות בשלושה נעלמים.

    דרגת המטריצה הזו היא כמובן 1, ולכן מימד מרחב הפתרונות הוא 2 (כי הסכום שלהם צ"ל 3).

    לכן אתה צריך למצוא שני פתרונות בלתי תלויים ואתה מסודר - יש בסיס.

    קל למצוא אותם מדרישה להתאפסות רכיבים שונים של וקטור הפתרון http://www.codecogs.com/gif.latex?(x_1,x_2,x_3).

 

    אם נדרוש שהרכיב הראשון הוא 0, נקבל שהוקטור (0,1,1) הוא פתרון.

    אם נדרוש שהרכיב הראשון יהיה אחד נקבל שהוקטור http://www.codecogs.com/gif.latex?(1,-i,i) הוא פתרון.

    שני הוקטורים כבר ניצבים זה לזה ולכן הם בסיס (לא מנורמל) למרחב הפתרונות.

 

ב. הפעם המשוואה הזו היא השורה היחידה השונה מאפס במטריצה 4X4 שמתארת מערכת משוואות בארבעה נעלמים.

    שוב, דרגת המטריצה היא כמובן 1, ולכן מימד מרחב הפתרונות הוא 3.

    כבר מצאנו שני אברים בבסיס של מרחב הפתרונות - הם הוקטורים מסעיף א' שמקיימים את המשוואה ומתאימים למטריצה 4X4 אם נוסיף להם רכיב נוסף.

    אנחנו יודעים שהוקטור (0,0,0,1) מקיים את המשוואה באופן טריוויאלי - כי המקדם של הרכיב הרביעי במשוואה הוא אפס, ולכן אם נוסיף אפס לשני הוקטורים מסעיף ב' נקבל שהוקטורים (0,1,1,0), http://www.codecogs.com/gif.latex?(1,-i,i,0) ו-(0,0,0,1), ניצבים זה לזה ומקיימים את המשוואה ולכן מהווים בסיס למרחב הפתרונות.