תרגיל במציאת גבול של סדרה.

[BenA]

אני לא מסתדר עם מציאת הגבול של הסדרה שבתמונה אשמח לעזרה ,מדובר בסעיף ב',תודה!

[אודי]

הסדרה מתכנסת לאפס. המבנה של האיבר הכללי בסדרה רומז לך ללכת על נוסחת הכפל המקוצר

http://www.codecogs.com/gif.latex?a%5E3-b%5E3=%20(%20a%20-%20b%20)%20(a%5E2+ab+b%5E2)

 

כאשר

http://www.codecogs.com/gif.latex?a=(n%5E2-9n+1)%5E%7B1/3%7D

http://www.codecogs.com/gif.latex?b=(n%5E2+8n-3)%5E%7B1/3%7D

 

אם תכפול את האיבר הכללי בסדרה (http://www.codecogs.com/gif.latex?a%20-%20b )  בביטוי המתאים לגורם השני במכפלה http://www.codecogs.com/gif.latex?(a%5E2+ab+b%5E2) ותחלק אותו באותו ביטוי, תקבל במונה:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?a%5E3-b%5E3=n%5E2-9n+1-n%5E2-8n+3=4-17n

 

ובמכנה:

http://www.codecogs.com/gif.latex?a%5E2+ab+b%5E2=(n%5E2-9n+1)%5E%7B2/3%7D+(n%5E2-9n+1)%5E%7B1/3%7D(n%5E2+8n-3)%5E%7B1/3%7D+(n%5E2+8n-3)%5E%7B2/3%7D

 

אם תוציא מהמכנה גורם משותף http://www.codecogs.com/gif.latex?n%5E%7B4/3%7D תראה שבגבול שבו n שואף לאינסוף המכנה הולך כמוהו (זו החזקה הכי גבוהה שם) והמונה הולך כמו n. כלומר כל הסדרה מתנהגת כמו http://www.codecogs.com/gif.latex?n%5E%7B-1/3%7D, כלומר הולכת לאפס.

(פורמלית, אתה יכול להראות שהסדרה היא מכפלה של גורם ששואף לקבוע ב-http://www.codecogs.com/gif.latex?n%5E%7B-1/3%7D ששואף לאפס ולהשתמש במכפלת גבולות).

[אורח BenA1]

תודה!

[BenA]

מעולה,תודה.