עזרה במדח

[dende4]

שלום 

https://gyazo.com/9588d4262c13f04c493604af4e85ab19

אשמח לעזרה בשאלה 3- סעיף ב. 

שכחתי לגמרי כלל השרשרת. 

וכמו כן באותה שאלה, מהי המדח לפי v ,ואיך אני ממיר את הפתרון שלה לפתרון המשוואה המקורית

תודה מראש

[אודי]

כלל השרשרת עבור נגזרות חלקיות אומר שיש לגזור את הפונקציה המורכבת http://www.codecogs.com/gif.latex?v(s,t)=u(x(s,t),y(s,t)) לפי הארגומנט הראשוני שלה ולהכפיל בנגזרת של הארגומנט הראשוני לפי הארגומנט המשני, כלומר:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?v_s=u_x%20x_s%20+%20u_y%20y_s

http://www.codecogs.com/gif.latex?v_t=u_x%20x_t%20+%20u_y%20y_t

 

מכיוון שנתון כי http://www.codecogs.com/gif.latex?x=t ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?y=st%5E2 ניתן לחשב את הנגזרות החלקיות:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?x_s=0

http://www.codecogs.com/gif.latex?y_s=t%5E2

http://www.codecogs.com/gif.latex?x_t=1

http://www.codecogs.com/gif.latex?y_t=2st

 

ולהציב בשתי המשוואות מכלל השרשרת לעיל ולקבל

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?v_s=t%5E2u_y

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?v_t=u_x+2st%20u_y

 

מכאן ניתן לחלץ את http://www.codecogs.com/gif.latex?u_x ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?u_y כפונקצייה של http://www.codecogs.com/gif.latex?v_s ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?v_t ולהציב במשוואה המקורית כדי לקבל את המשוואה במשתנים החדשים:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?u_y=%5Cfrac%7Bv_s%7D%7Bt%5E2%7D

http://www.codecogs.com/gif.latex?u_x=v_t-%5Cfrac%7B2s%7D%7Bt%7Dv_s

 

ומהצבה של הנגזרות החלקיות וכן של x ו-y במשוואה מתקבל

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?t(v_t-%5Cfrac%7B2s%7D%7Bt%7Dv_s)+2st%5E2%5Cfrac%7Bv_s%7D%7Bt%5E2%7D-st%5E3=0

 

ולאחר כינוס אברים וצמצום t מתקבלת משוואה פשוטה:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?v_t=st%5E2

[dende4]

כלל השרשרת עבור נגזרות חלקיות אומר שיש לגזור את הפונקציה המורכבת לפי הארגומנט הראשוני שלה ולהכפיל בנגזרת של הארגומנט הראשוני לפי הארגומנט המשני, כלומר:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?v_s=u_x%20x_s%20+%20u_y%20y_s

http://www.codecogs.com/gif.latex?v_t=u_x%20x_t%20+%20u_y%20y_t

 

ניתן להציב את הנגזרות החלקיות:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?x_s=0

http://www.codecogs.com/gif.latex?y_s=t%5E2

http://www.codecogs.com/gif.latex?x_t=1

http://www.codecogs.com/gif.latex?y_t=2st

 

בשתי המשוואות שלעיל ולקבל

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?v_s=t%5E2u_y

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?v_t=u_x+2st%20u_y

 

מכאן ניתן לחלץ את http://www.codecogs.com/gif.latex?u_x ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?u_y כפונקצייה של http://www.codecogs.com/gif.latex?v_s ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?v_t ולהציב במשוואה המקורית כדי לקבל את המשוואה במשתנים החדשים:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?u_y=%5Cfrac%7Bv_s%7D%7Bt%5E2%7D

http://www.codecogs.com/gif.latex?u_x=v_t-%5Cfrac%7B2s%7D%7Bt%7Dv_s

 

ומהצבה של הנגזרות החלקיות וכן של http://www.codecogs.com/gif.latex?x=t ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?y=st%5E2 במשוואה מתקבל

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?t(v_t-%5Cfrac%7B2s%7D%7Bt%7Dv_s)+2st%5E2%5Cfrac%7Bv_s%7D%7Bt%5E2%7D-st%5E3=0

 

ולאחר כינוס אברים וצמצום t מתקבלת משוואה פשוטה:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?v_t=st%5E2

קודם כל תודה ענקית. 

ושנית, כן יש מצב שכחתי כל מה שלמדתי בחדווא 2,בסופו של דבר יש לך ביטוי עבור V של T. האם עכשיו V של S לא מעניינת אותך? ואיך תחזור לפתור את זה בפונקציה של U ולא של V

[אודי]

א. בבקשה אל תצטט את הפתרון שלי במלואו אם אין צורך להתייחס לחלק ספציפי ממנו.

    במיוחד כי ערכתי קצת בזמן שהגבת כדי שיהיה יותר ברור.

 

ב. אתה לא חייב לחשב את http://www.codecogs.com/gif.latex?v_s כדי לפתור את המד"ח, מכיוון שהמשוואה ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?v_t פשוטה ומביאה אותך ישירות ל-v מאינטגרציה:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?v(s,t)=%5Cfrac%7Bst%5E3%7D%7B3%7D+f(s)

 

כאשר f היא פונקציה כלשהיא של s בלבד שנעלמת בגזירה לפי t. כדי לחזור ל-u אתה פשוט צריך להציב את t=x ו-s=y/x^2.