אשמח לעזרה באלגברה לניארית

[dende4]

היי. 

https://gyazo.com/1cb53f2abd7a52680d8db2c037b603f5

אשמח להסבר בשאלה זו למה השובה היא דווקא ב ולא א. 

https://gyazo.com/14b9bd4881d87b106db9cc7b4f1dbe4b

ופה מדוע התשובה היא לא ב אלא א. 

תודה מראש

[אודי]

1. אם A היא מטריצה אנטי-סימטרית מסדר אי זוגי נובע שהדטרמיננטה שלה מתאפסת, כי (מודגם פה על מטריצה אי סימטרית מסדר 101):

http://www.codecogs.com/gif.latex?%7CA%7C=%7CA%5Et%7C=%7C-A%7C=(-1)%5E%7B101%7D%7CA%7C=-%7CA%7C

ואז ניתן לחשב את הדטרמיננטה בתשובות ולהראות שגם היא מתאפסת:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%7CA%5E%7B1001%7D+A%5E%7B1003%7D%7C=%7CA%7C%5E%7B1001%7D%7CI+A%5E2%7C=0%5E%7B1001%7D%7CI+A%5E2%7C=0

2. אם תכתוב את מבנה האיברים ב-AB תראה שכל עמודה ב-AB היא קומבינציה ליניארית של עמודות A. לדוגמא, העמודה הראשונה ב-AB נראית ככה:
 

http://i182.photobucket.com/albums/x203/Udi_E/sample_zpsuzhlpeda.png

 

אם תסתכל על האיבר ה-j בסכום תראה שהוא מכפלת עמודה j ממטריצה A באיבר http://www.codecogs.com/gif.latex?b_%7Bj1%7D. מכיוון שכל עמודה ב-AB היא קומבינציה ליניארית של עמודות A מרחב העמודות של AB מוכל או זהה לזה של A.

זה לא מספיק להוכחה שמרחבי העמודות זהים ממש, אבל ברור למה מרחב העמודות של BA לא בהכרח זהה למרחב העמודות של A, כי העמודות של BA הן קומבינציה ליניארית של עמודות B ולא של עמודות A, והמימד של B גדול או שווה ממימד A.

ניסיון להוכחה החסרה: נניח שמרחב העמודות של AB מוכל ממש במרחב העמודות של A. זה אומר שדרגת AB קטנה מדרגת A, אבל זה לא ייתכן כי ממשפט סילבסטר נובע:
http://www.codecogs.com/gif.latex?%20r%20(%20A%20)%20+%20r(%20B%20)%20-%20n%20=%20r(%20A%20)%20%5Cleq%20r%20(%20AB%20)

[dende4]

תודה רבה