מומנט אינרציה

[אודי ב]

יש לי קוביה עם צפיפות הומוגנית בעלת מסה m וארוך צלע a.

מהו מומנט האינרציה של הקוביה לסיבוב סביב ציר העובר דרך מרכז הקוביה ומכוון לאחת הפינות?

 

ידוע כי טנזור מומנט האינרציה של הקוביה עבור מערכת צירים הנמצאת במרכזה כשכל אחד מהצירים חותך את הקוביה במרכזי הפאות הוא:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bm%20a%5E2%7D%7B6%7D%5Cleft%20(%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D

 

הקוביה מסתובבת סביב הוקטור 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%20r%20=%20%5Cfrac%7Ba%7D%7B%5Csqrt3%7D%5Cleft%20(%5Cbegin%7Bmatrix%7D

 

מכיוון שאורך הצלע הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csqrt%7B3%7Da וכתבתי ווקטור יחידה בכיוון הזה.

מה השלב הבא שעליי לעשות כדי לחשב את מומנט האינרציה?

 

אני יודע שאני יכול לקבל את וקטור התנע הזוויתי אם אני מכפיל את http://www.codecogs.com/gif.latex?I ב- omega (מכפלת מטריצה בוקטורhttp://www.codecogs.com/gif.latex?%5Comega%20%5Ccdot%20%5Cvec%20r)אבל זה לא מה שמבקשים.

[אודי]

באיזה קורס מדובר?

 

הטרנספורמציה של טנזור האינרציה ע"י מטריצת סיבוב ניתנת ע"י:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?I'=R%5EtIR

 

יש לך כל מיני דרכים למצוא את מטריצת הסיבוב:

 

1. אתה יכול להציב וקטור יחידה u בתור ציר הסיבוב ואת הזווית המתאימה בתור זווית הסיבוב בנוסחה הכללית למטריצת סיבוב:

 

http://i182.photobucket.com/albums/x203/Udi_E/rotation_matrix_zpsale4hnb2.png

 

ציר הסיבוב שלך אמור להיות וקטור יחידה ניצב לוקטור r ולכיוון שאתה רוצה שיהיה במערכת הצירים החדשה (ציר z), וזווית הסיבוב היא הזווית בין שני הכיוונים האלו שאתה יכול למצוא ממכפלה סקלרית.

את הסימן של זווית הסיבוב אתה מתאים לפי הנוטציה של סיבוב נגד כיוון השעון מתאים לזווית סיבוב חיובית (וזה מה שאני מקבל פה). אני מקבל (ממכפלה וקטורית):

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bu%7D=%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D(-1,1,0)

http://www.codecogs.com/gif.latex?%20%5Ctheta%20=%5Carccos(%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D)=54.73%5E%7B%5Ccirc%7D

 

2. אפשר לכתוב את טרנספורמציית הקואורדינטות לוקטורי היחידה ולחשב את מטריצת הטרנספורמצייה. זה אמור לצאת אותו הדבר, רק מחייב אותך לבחור וקטורי יחידה מראש בכיווני x ו-y החדשים שניצבים ל-r שלך ויוצרים מערכת ימנית.

[אודי ב]

תודה על תגובתך אבל,

לקחתי את השאלה הזו מספר שאלות-ופתרונות במכניקה ושם מקבלים את התשובה יותר בקלות:

השאלה והפיתרון בקבצים המצורפים.

 

אני מתנצל שאני מראה את הפיתרון ואת הניסוח הקצת שונה של השאלה רק עכשיו.

בכל מקרה, אשמח אם תעזור לי להבין מה החישוב שנעשה פה ומי הם הגדלים http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clambda,%20%5Cnu%20%5C,%20%5Cmu

[אודי ב]

שאלה נוספת אבל דומה:

http://i63.tinypic.com/sflcae.png

 

התשובה לסעיף א' היא

http://i66.tinypic.com/34ewdbn.png

 

וכאן מופיע עוד פעם החלק שאני לא מבין, בתשובה לסעיף ב':

http://i67.tinypic.com/14spci9.png

 

תודה!

[אודי]

בכל מקרה, אשמח אם תעזור לי להבין מה החישוב שנעשה פה ומי הם הגדלים http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clambda,%20%5Cnu%20%5C,%20%5Cmu

הם מוגדרים לך בשאלה. הם direction cosines, כלומר הקוסינוסים של הזוויות של הוקטור הנ"ל עם שלושת הצירים. הם רכיבים של וקטור יחידה בכיוון ציר הסיבוב.

אתה יכול להסתכל פה, מראים שם איך מפתחים את הנוסחא שמצוטטת בפתרון מההגדרה הסטנדרטית של מומנט האינרציה.

 

אני הבנתי (בטעות) שאתה צריך את טנזור האינרציה במערכת החדשה, לא את מומנט האינרציה הכולל, שזו שאלה פשוטה יותר.