אינפי 1מ- גבול.

[BenA]

רציתי להבין למה אם יש לי סדרה ששייכת לעולם הרציונלים ,ואני בונה אותה ככה שתתקרב עוד ועוד לשורש 2 אז שורש 2 אינו הגבול שלה כי הוא אינו מאותו עולם של הרציונלים.

 

מה זה משנה ,הרי בסופו של דבר כל אותם רציונלים ימשיכו לשאוף לאותו שורש שתיים,על אף שתמיד יתקיים ערך רציונלי שגדול מהעוקב לו.

וגם אני יכול להמשיך ולשאול ,הרי עם אני אבנה סדרה של ממשיים ששואפת לשורש שתיים ולא שווה לא(שבמקרה הזה אני כן טוען ששורש שתיים מקיים גבול של הסדרה משום מה)עבור כל ערך מספרי שיתקרב לשורש שתיים גם כן תמיד יהיה אחד ממשי שגדול לו,ולא ניתן יהיה להשיג אותו ,בדיוק כמו עבור הרציונלים!

 

ובנוסף עבור סדרת הרציונלים,לכל אפסילון גדול מ-0 מתקיים הגדרת הגבול עבור שורש שתיים().

[אסף]

מה זאת אומרת לא מעולם הרציונלים? לפי מה שידוע לי אין כזו מגבלה ואפשר להשאיף לכל מספר אי רציונלי.

(1+1/n)^n->e

כלומר, סדרה של מספרים רציונלים שואפת למספר אי רציונלי.

[אודי]

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%5Cinfty%7D(1+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D)%5En=e

[אודי]

אפשר גם לבנות סדרה http://www.codecogs.com/gif.latex?a_m שתתכנס לשורש 2 אם רוצים, מטור הטיילור של http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csqrt%7B1+x%7D עבור http://www.codecogs.com/gif.latex?x=-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D

 

 

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D=%5Csqrt%7B1-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D=%5CSigma_%7Bn=0%7D%5E%5Cinfty%20%5Cfrac%7B(-1)%5En(2n)!%7D%7B(1-2n)(n!)%5E24%5En%7D(-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)%5En

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D=%5CSigma_%7Bn=0%7D%5E%5Cinfty%20%5Cfrac%7B(2n)!%7D%7B(1-2n)(n!)%5E28%5En%7D

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csqrt%7B2%7D=2%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D=%5CSigma_%7Bn=0%7D%5E%5Cinfty%20%5Cfrac%7B2(2n)!%7D%7B(1-2n)(n!)%5E28%5En%7D

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?a_m=%5CSigma_%7Bn=0%7D%5Em%20%5Cfrac%7B2(2n)!%7D%7B(1-2n)(n!)%5E28%5En%7D

 

וברור ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clim_%7Bm%5Crightarrow%5Cinfty%7Da_m=%5Csqrt%7B2%7D למרות שכל אברי הסדרה רציונליים.

[BenA]

אולי לא הבנתי נכון אבל 

בדקה 11:52 אביב טוען שמה למה לא יכול להיות גבול של שורש שתיים עבור הסדרה הרציונלית.. כנראה שזה רק עניין של הגדרה 

[אודי]

- כדאי להתחיל מהוידאו הזה כדי שנבין את הקונטקסט.

 

- האמירה היא לא שאין סדרה שמתכנסת למספר לא רציונלי אלא שאם הגבול לא רציונלי והסדרה מוגדרת על מרחב שמכיל את המספרים הרציונליים בלבד אז אין לה גבול במרחב הזה.

לא בגלל אי עמידה בקריטריון התכנסות כלשהוא אלא כי הגבול הזה פשוט לא חלק מהמרחב.

באותו אופן אפשר לומר:

 

1. שלסדרה http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D אין גבול מעל הקטע הפתוח (0,1) כי הגבול שלה הוא אפס והוא לא חלק ממנו.

 

2. שלסדרה שאני בניתי (שמתכנסת לשורש 2) אין גבול במרחב שמכיל את המספרים הרציונליים בלבד (כי הגבול שלה לא רציונלי ולכן פשוט לא נמצא שם).

 

3. שלסדרה אנונימית ששואפת למספר 7 מעל הממשיים אין גבול מעל המרחב שהוא מרחב הממשיים בלי 7 כי לקחתי את 7 והעפתי אותו משם (הוא עצבן אותי)

 

אם הגבול לא שייך למרחב שבו מוגדרת הסדרה לסדרה אין גבול במרחב הזה.

[BenA]

סבבה אחי הבנתי עכשיו,תודה לך