עזרה הם הרמוניות ספריות

[Sweex]

סה"כ שאלה מאוד מתמטית שלא ממש הבנתי פתרונה.
איך מקבלים את כללי הברירה האלה עבור רמות הרוטציה (j,m)
j'-j=+/-1 && M'-M=0
 

ניסיתי להשתמש בכל הטריקים שיש בספריות הרמוניות ועדיין לא מצליח להגיע לזה.

[אודי]

האם אפשר בבקשה לראות את הניסוח המלא של השאלה המקורית

אפשר לדבר על הרמוניות ספריות בכל מיני הקשרים. בנוסף לא ברור לי מה Y1,0 עושה במכפלה הפנימית שלך

[Sweex]

זה בהקשר של ספקטרוסקופיה מולקולרית. זה למעשה הפעלת אופרטור של מומנט דיפול חשמלי בציר Z שההשלכה שלו בכיוון הזה היא קבוע כפול cos(teta)ddd.
מפה מבצעים מדידה מתי מומנט הדיפול המולקולרי לא מתאפס, כאשר הפונקציות העצמיות של זה הן למעשה Ylm המייצגים את מעברי הרוטציה השונים של אלקטרונים במולקולה.
מפה מבצעים אינטגרל על כל העולם כדי לגלות מתי הדבר הזה מקבל ערך השונה מ- 0 אחרי שמייצגים cos(teta)ddd בתור Y10.
העניין פה הוא פחות הפיזיקה\כימיה אלא המתמטיקה. לא מבין מניין הכללים האלו באו (שזה כמובן קשור לפונקציות הדלתא)

[אודי]

האמת שהתכוונתי לציטוט של השאלה עצמה, אבל שוין.

 

א. ה-http://www.codecogs.com/gif.latex?m-m' זה החלק הקל.

 

הצורה הכללית של הרמוניות ספריות היא:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?Y_%7Bl,m%7D=NP_l(%5Ccos(%5Ctheta))e%5E%7Bim%5Cvarphi%7D

 

כאשר N הוא מקדם נרמול כלשהוא.

 

אם תציב אותה באינטגרנד שלך תראה שהאינטגרנד של האינטגרל לפי http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvarphi שלך נראה כמו

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?I_%7B%5Cvarphi%7D%20=e%5E%7Bi(m-m')%5Cvarphi%7D

 

בעיקרון האקספוננט הזה הוא פונקציה מחזורית בשני פאי (כי כידוע http://www.codecogs.com/gif.latex?e%5E%7Bix%7D=%5Ccos(x)+i%5Csin(x) ), ולכן האינטגרל עליו יתן אפס בכל מקרה אלא אם

http://www.codecogs.com/gif.latex?m-m'=0

ואז תקבל אינטגרל על 1 שיתן שני פאי.

 

ב. החלק השני קשור כנראה לזהויות של פולינמי לז'נדר. אני לא זוכר אותן בעל פה, אבל עיון בויקיפדיה וניחוש מלומד אומר שהזהות הרלוונטית היא נוסחת הנסיגה:

 

מכיוון ש-

http://www.codecogs.com/gif.latex?Y_%7B1,0%7D=x

 

משני השוויונות נובע ש (אם תבודד את האיבר הראשון באגף ימין בנוסחת הנסיגה ותציב j=n-1):

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?Y_%7B1,0%7DP_%7Bj%7D=aP_%7Bj+1%7D+bP_%7Bj-1%7D

כאשר a,b מקדמים קבועים כלשהם שלא חשובים לנו כרגע כי הם לא משפיעים על התאפסות האינטגרל.

 

כלומר האינטגרנד שלך בתטא הוא מהצורה:

http://www.codecogs.com/gif.latex?I_%7B%5Ctheta%7D%20=aP_%7Bj+1%7DP_%7Bj'%7D+bP_%7Bj-1%7DP_%7Bj'%7D

 

מכיוון שפולינומי לז'נדר אורתונורמלים, נובע שצ"ל

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?j+1=j'

או

http://www.codecogs.com/gif.latex?j-1=j'

 

כדי שהאינטגרל על תטא לא יתאפס.