לגבי שטחי הצלעות של פירמידה

[אודי ב]

נניח ויש לי פירמידה כמתואר באיור.

http://i.imgur.com/TU96FU0.png

הפתרון של התרגיל אומר כי שטחי הפאות מקיימים:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D

כאשר a הוא מיקום הקודקוד של הפירמידה עם ציר x,

b עם y

c עם z.

ו- S_s הוא שטח הפאה שנמצאת בזווית עם מישור xy.

מדוע הקשר הנ"ל בין השטחים מתקיים?

ניסיתי להראות את זה עם נוסחת Halo לשטח משולש שנתונות 3 הצלעות שלו (מבלי ידע כלשהו על הזוויות), ודי הסתבכתי.

תודה.

[אודי]

אפשר לראות את הפתרון עצמו?

משהו לא מסתדר בנוסחאות שלך מבחינת יחידות. לגודל באגף ימין של השוויונים יש יחידות של נפח, לא של שטח.

[אודי ב]

צודק. טעות שלי.

מנסים להוכיח את חוק פסקל - הלחץ שמפעיל אלמנט נפח קטן בצורת פירמידה (למשל) של זורם במנוחה זהה בכל הכיוונים בהסתמך על כך שהכוח הפועל על כל משטח ניצב לו.

אם אנחנו מדברים על פירמידה כמו שבאיור בהודעה המקורית, אז מכיוון שלחץ הוא כח ליחידת שטח:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%20p_x=-p_x%20%5Chat%20x,~%5Cvec%20p_y=-p_y%20%5Chat%20y,~%20%5Cvec%20p_z=-p_z%20%5Chat%20z

והוקטור של המישור המשופע הוא

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%20p_s=p_s%5Ccdot(a%20%5Chat%20x+b%5Chat%20y+c%5Chat%20z)

בשיווי משקל שקול הכוחות הוא אפס ולכן

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%20p_s%20S_s%20+%5Cvec%20p%20_x%20S_x%20+%5Cvec%20p_y%20S_y%20+%5Cvec%20p_z%20S_z=0

ואז הפתרון אומר את מה שכתבתי בהודעה המקורית:

http://www.codecogs.com/gif.latex?S_x=a%20S_s,~s_y=bS_s,~S_z=cS_s

ופותרים את המשוואה הוקטורית בכל קורדינטה ומקבלים שיוויון בין כל ה- p-ים.

 

יכול להיות שמדלגים על שורה אחת או שתיים?

 

תודה.

[אודי]

משהו עדיין לא מסתדר לי.

 

1. את בעיית אי התאמת היחידות לא פתרת, אלא אם a b ו-c הם מספרים שמתאימים לוקטור יחידה בכיוון הניצב לשטח ולא הקואורדינטות של נקודות החיתוך

2. לפי מה שאתה כותב נראה שמשתמשים בחוק פסקל כדי להגיע לתוצאה הסופית, ולא מוכיחים אותו. בפרט משתמשים ב-p_s=p_x=p_y=p_z (ובפירוק השוויון האחרון שלך לרכיבים) כדי להגיע לתוצאה הסופית.

[אודי ב]

אם אני אומר שנקודות החיתוך של הפירמידה עם הצירים הם ב- dx dy dz ולא ב- a b c אז אתה יכול להסביר את זה?

אולי לא הבנתי את הפתרון כמו שצריך, כי לא אמרו את זה במפורש, אני הנחתי שזה כך.

[אודי]

לא

 

אי אפשר להביא לפה את הפתרון עצמו?

No offense, אבל אני מנסה להסביר את הגרסא של הפתרון שאתה מספק פה כשאתה מודה בעצמך שלא בטוח שהבנת את המקור בכלל

אם זה קובץ אלקטרוני קל מאוד לעשות צילום מסך שלו עם ה-Sniper ולשים אותו פה

[אודי ב]

sol1.pdf

הנה.

[אודי]

אוקי, יותר ברור. a,b,c הוא וקטור יחידה ומוכיחים את חוק פסקל.

 

אני חושב שזה חישוב שהמקור שלו בוקטורים בתיכון וגיאומטריית המרחב.

 

נחשב את הקשר בין השטח של המשולשים http://www.codecogs.com/gif.latex?S_s ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?S_x.

לשני המשולשים יש צלע משותפת (זו שבמישור yz), אבל הגובה של המשולש http://www.codecogs.com/gif.latex?S_x לצלע הזו הוא ההיטל של הגובה של המשולש http://www.codecogs.com/gif.latex?S_s לצלע הזו על מישור yz.

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?h_x=h_s*%5Ccos%5Ctheta

 

כאשר תטא היא הזווית בין המשולש http://www.codecogs.com/gif.latex?S_s למישור yz.

אבל הזווית הזו היא בדיוק הזווית בין הניצב למשולש http://www.codecogs.com/gif.latex?S_s (הוקטור n) לבין הניצב למישור yz (ציר x), ומכיוון ש-n הוא וקטור יחידה, נובע מתכונות מכפלה סקלרית:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Chat%7Bn%7D%5Ccdot%5Chat%7Bx%7D=a=%7C%5Chat%7Bn%7D%7C%7C%5Chat%7Bx%7D%7C%5Ccos%5Ctheta=%5Ccos%5Ctheta

 

ולכן:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?h_x=ah_s

http://www.codecogs.com/gif.latex?S_x=aS_s

 

ובאותו אופן ניתן להוכיח את שאר השוויונות.