חדווא 1

[RivkaRoje6]

היי לכולם

הסתבכי עם השאלה המצורפת :/

 

אפשר עזרה

נתון גם כי :

b>a>0

 

Thank You !

[אודי]

אפשר להוכיח את אגף ימין באמצעות טור טיילור של ln, אבל הדרך הפשוטה ביותר להוכיח את שני האגפים היא באמצעות חקירת הפונקציה

http://www.codecogs.com/gif.latex?y(x)=x-%5Cln(x)

 

קל לראות שלפונקצייה הזו יש מינימום גלובלי ב-x=1 שהוא 1. כלומר עבור x>1 או x<1 הפונקצייה הזו גדולה מ-1.

 

אנחנו יודעים ש-a/b<1. ולכן אם נסמן x=a\b אפשר לכתוב את אגף ימין של האי שוויון כ:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cln(x)

 

או http://www.codecogs.com/gif.latex?x-%5Cln(x), אבל אנחנו יודעים שהאי שוויון הזה מתקיים עבור x<1 ומכאן הוכחנו את אגף ימין.

 

באותו אופן, מכיוון שאנחנו יודעים b/a>1 ניתן להראות שאם נסמן x=b/a אגף שמאל שקול לאי שוויון

http://www.codecogs.com/gif.latex?1-x

 

שבהעברת אגפים נותן את הזהות שכבר הוכחנו גם עבור x>1, היינו http://www.codecogs.com/gif.latex?x-%5Cln(x).

מכאן גם אגף שמאל נכון.