שאלה בחישוב גבולות

[breeze]

שלום לכולם,

 

 

"חישבתי" את הגבול http://www.codecogs.com/gif.latex?%20%5Clim_%7Bn%20%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7D%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%5Bn%5D%7Bn!%7D%7D%7Bn%7D ב 3 דרכים שונות, רק האחרונה נותנת תוצאה נכונה, אבל אני לא מבין למה

השתיים הראשונות אינן נכונות, מהם הצעדים השגויים ולמה?

 

1. http://www.codecogs.com/gif.latex?%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%5Bn%5D%7Bn!%7D%7D%7Bn%7D%20=%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%5Bn%5D%7B1%20%5Ctimes%202%20%5Ctimes%20%5Ccdots%20%5Ctimes%20n%7D%7D%7Bn%7D%20=%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%20(%5Csqrt%5Bn%5D%7B1%7D%5Csqrt%5Bn%5D%7B2%7D%20%5Ccdots%20%5Csqrt%5Bn%5D%7Bn%7D)%20%5Clongrightarrow%200

מאריתמטיקה של גבולות,

כאשר ידוע http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%20%5Clongrightarrow%200,%20%5Csqrt%5Bn%5D%7Bconst.%7D%20%5Clongrightarrow%201,%20%5Csqrt%5Bn%5D%7Bn%7D%20%5Clongrightarrow%201

 

 

2. מאי-שוויון הממוצעים(ואריתמטיקה+סנדויץ'):

 http://www.codecogs.com/gif.latex?0%20

 

 

3. לפי משפט, אם http://www.codecogs.com/gif.latex?%20%5Clim_%7Bn%20%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7D%20%5Cfrac%7B%20a_%7Bn+1%7D%20%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D%20=L אז http://www.codecogs.com/gif.latex?%20%5Clim_%7Bn%20%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7D%20%5Csqrt%5Bn%5D%7B%20a_%7Bn%7D%20%7D%20=L

http://www.codecogs.com/gif.latex?%20%5Clim_%7Bn%20%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7D%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%5Bn%5D%7Bn!%7D%7D%7Bn%7D%20=%20%5Clim_%7Bn%20%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7D%20%5Csqrt%5Bn%5D%7B%20%5Cfrac%7Bn!%7D%7Bn%5En%7D%20%7D%20=%20%5Clim_%7Bn%20%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7D%20(1-%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%20)%5En=%20%5Cfrac%7B1%7D%7Be%7D

 

 

 

תודה!

[אודי]

בבירור אי אפשר להשתמש באריתמטיקה של גבולות כדי לחבר או להכפיל מספר אינסופי של מחוברים/גורמים/גבולות.

אחרת היית מקבל שהגבול הידוע

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?(1+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D)%5En

 

הוא 1 ולא e.

[breeze]

הבנתי, תודה רבה  :)