תת חבורות

[kimp]

שלום,

יש לי כמה שאלות בתת חבורות:

שאלה 1: רציתי לוודא אם עשיתי נכון, סעיף א היא תת חבורה כי יש סגירות, הופכי ואדיש. סעיף ב לא תת חבורה כי אין סגירות ונתתי דוגמא. סעיף ג כן תת חבורה כי N לא ריקה וגם A*B^-1 שייך לN (זה נכון ש A=B^-1?), האם צדקתי בכל הסעיפים? 

שאלה 20: האם אלה תת חבורות ביחס לכפל? ניסיתי להוכיח לפי סגירות, אדיש והופכי אבל לא הבנתי מה זה ההופכי של מודלו. האם האדיש זה 1?

 

תודה!!

[אודי]

1. הכל נראה נכון, אבל ההוכחה של סעיף ג' נראית לי חסרה (מאיפה מטריצה B צצה ולמה היא קשורה)?

 

מהדרישה http://www.codecogs.com/gif.latex?AA%5Et=I ומכך ש-A שייכת ל-G נובע:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?

 

וקל לראות שהפתרון של מערכת המשוואות הוא

http://www.codecogs.com/gif.latex?a=%20%5Cpm%201

http://www.codecogs.com/gif.latex?b=0

http://www.codecogs.com/gif.latex?c=%5Cpm%201

 

כלומר החבורה שלך כוללת ארבע מטריצות מכל הקומבינציות האפשריות של הסימנים:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?

 

החבורה הזו סגורה, אסוציאטיבית, מכילה את היחידה ומכילה הופכי לכל איבר.

 

20.

א. האדיש זה 1, כי ברור ש:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?a%20%5Ccdot%201%20%5C,(mod%5C,%2036)%20=%20a%5C,%20(mod%5C,%2036)

 

הופכי הוא האיבר שנותן

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?aa%5E%7B-1%7D%5C,%20(mod%5C,36)%20=%201

 

לגבי קיום הופכי, נראה לי קל יותר להראות שלכל איבר יש הופכי מאשר לספק הוכחה כללית שקיים הופכי כי תת החבורות האלו קטנות:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?H=%5C%7B1,5,13,17,25,29%5C%7D

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?K=%5C%7B1,19%5C%7D

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?5%20%5Ccdot%2029%5C,%20(mod%5C,%2036)=1

http://www.codecogs.com/gif.latex?13%20%5Ccdot%2025%5C,%20(mod%5C,%2036)=1

http://www.codecogs.com/gif.latex?17%20%5Ccdot%2017%5C,%20(mod%5C,%2036)=1

http://www.codecogs.com/gif.latex?19%20%5Ccdot%2019%5C,%20(mod%5C,%2036)=1
 

[kimp]

תודה רבה!!!