זרמי העתקה וכא"מ

[spider]

אשמח לקבל עזרה עם השאלות הבאות:

 

בסעיף ב - עפ"י התשובה הסופית, נבחרה לולאה בהיקף של L, שלא ממש ברור לי למה ומה המשמעות של זה, מה הסיבה הלולאה של r*2*pi לא נכונה כאן?

סעיף ד- אני מנסה למצוא את הכא"מ (ואח"כ באמצעותו את הזרם המושרה במסגרת)
הבעיה שאני לא מצליח להגיע לביטוי נכון (כזה שמכיל w*w כמו בפתרון), אפשר קצת עזרה עם הדרך לפתרון הסעיף?

 

 

שאלה נוספת:

 

1

בשאלה הנ"ל כיוון השדה המגנטי הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Chat%7B%5Ctheta%20%7D , אך החישוב של הכיוון כאן הוא יחסית פשוט (ע"י ביו-סבר), יש שאלות שלא תמיד נתונים (או ניתן להסיק כאלו לבד) הפרמטרים על מנת לחשב את כיוון השדה, ובכל זאת הרבה פעמים זהו כיוונו. אלו דרכים נוספות (מלבד ביו סבר, למשל אינטואיטיבית) מאפשרות לגלות את כיוון השדה בקלות מנתונים/שרטוט השאלה ?

 

2

מתי ניתן להסיק שיש זרמי העתק ? האם תמיד השדה החשמלי משתנה בזמן (יש גם מקרים נפוצים נוספים שניתן להסיק אותם, מבלי לדעת מראש על שינוי השדה בזמן) ?

 

3

בסעיף ג, השדה בין הגלילים הוא שדה של לוח? ואם כן מאיזה שיקולים אפשר להסביר זאת ?

 

תודה

[אודי]

שאלה ראשונה

ב - שים לב שכיווני השדות שונים בבעייה הזו ממה שדברנו עליו עד עכשיו. ניתן לראות מסעיף א' שהזרם הוא בכיוון המשיקי ולכן השדה המגנטי הוא בכיוון ציר z.
לכן שטח החתך הרלוונטי לחוק אמפר (ניצב לכיוון הזרם) אינו לולאה ברדיוס r (שמקבילה למישור xy וניצבת לציר z) אלא מלבן שצלעותיו מקבילות לצירי z ו-r בהתאמה, כאשר הבסיסים שמקבילים לציר z ממוקמים ברדיוס r ו-a.
השדה המגנטי ניצב לכיוון הצלעות המקבילות לציר r, ולכן האינטגרל המסלולי על הצלעות האלו מתאפס. השדה המגנטי על המעטפת החיצונית של הגליל (ובפרט על הבסיס ברדיוס a) מתאפס (אפשר לראות אם לוקחים מסגרת דומה ברדיוסים a ואינסוף ורואים שהיא לא מקיפה שום זרם). ולכן אנחנו נשארים עם האינטגרל המסלולי על בסיס המלבן המקביל לציר z שממוקם ברדיוס r. שהוא פשוט השדה ברדיוס r כפול אורך הבסיס.

ד - להבנתי עצירה בקצב קבוע אומרת שהתדירות של הסיבוב דועכת מאומגה לאפס בקצב קבוע ומתאפסת בזמן העצירה. אם נסמן ב-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5COmega(t) את התדירות כפונקצייה של הזמן, צריך להתקיים:
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5COmega(t)=%5Comega-%5Cfrac%7B%5Comega%5E2%7D%7B20%5Cpi%7Dt

כשאתה מציב את הביטוי הזה במקום אומגה בביטוי לשטף המגנטי מסעיף ג' וגוזר לפי הזמן (ומוסיף מינוס, כמובן), אתה מקבל את הכא"מ המושרה בריבוע התיל כפונקציה של הזמן (יוצא קבוע); כשאתה מחלק את הכא"מ בהתנגדות של הריבוע אתה מקבל את הזרם והוא מתאים לתשובה.
אני חייב להודות ש"עצירה בקצב קבוע" זה ביטוי מעורפל למדי. אני הייתי כותב את הפונקצייה בנתונים.

שאלה שנייה

1. בגדול שלושת הדרכים שעולות לי מייד הן ביו סבר, חוק אמפר וכלל יד ימין. אתה אמור להיות מסוגל להסיק את כיוון הזרם מהסימטריה של הבעייה בהסתמכות רופפת על שלושת אלו בכל מיני מקרים. אין לי כלל אצבע טוב למה עובד מתי.

2. לזכרוני זרם העתק ושדה חשמלי משתנה בזמן הם מונחים מקבילים. בלי לדעת שהשדה החשמלי משתנה בזמן לא תוכל להסיק שיש זרמי העתק

3. אתה לא אמור להשתמש פה בשדה של קבל. התוצאה הזו נובעת מהגרסא המתוקנת של חוק אמפר עבור שדה חשמלי משתנה בזמן:

תסתכל על השדה המגנטי על לולאה ברדיוס R שמקיפה את אחד הגלילים (צמודה להיקפו), ותסתכל על שני משטחים שאפשר להתאים לאגף ימין בחוק אמפר (שהלולאה היא הגבול שלהם)
- המשטח הראשון הוא דסקה עגולה שחותכת את הגליל. קל לחשב את הזרם דרכה מאינטגרציה ומקבלים את התוצאה של סעיף ג'. החישוב מתבסס על האיבר הראשון באגף ימין שהוא פשוט הזרם בגליל (האיבר השני מתאפס כי השדה במוליך הוא אפס).
- המשטח השני הוא "כוס" שהקצה העליון שלה הוא הלולאה הנ"ל, דפנותיה הן הקף הגליל ובסיסה (העגול) עובר דרך הרווח הצר בין הלוחות. שים לב שבמשטח הזה אין תרומה של צפיפות זרם J (האיבר הראשון באגף ימין מתאפס)* והזרם היחידי שעובר שם הוא זרם העתקה. (האיבר השני) לכן הוא חייב להיות שווה לזרם מהסעיף הקודם.

 

* על דפנות הכוס יש צפיפות זרם, אבל המכפלה הסקלרית בינה לבין dS מתאפסת (dS ניצב לכיוון הזרם) ולכן הן לא תורמות לאינטגרל.

[spider]

לגבי השאלה הראשונה:

 

א.

 

בסעיף ב של השאלה, חישוב הזרם Iin חושב החל מ-r (בתחום קטן מהרדיוס a) ועד הרדיוס a עצמו.

כפי שהדגשת, הזרם זורם בכיוון המשיקי (שאגב הסיבה שצריך להסיק זאת (את הכיוון), זאת כיוון שהגליל נע (ולא עומד במקום) ?).

 

וניתן לראות שכאשר r=a מקבלים ש-Iin הוא כל הזרם, וככל שמתרחקים מהמרכז (ביחס לציר הסימטריה של הגליל) הזרם דועך, ואני טועה מדוע זה כך?

 

כי בשאלה השניה, בחישוב ה-Iin (עבור חישוב השדה בסעיף א), הוא החל מ-r=0 ועד r כלשהו (בתחום של r<R), וכיוון הזרם הוא ככיוון ציר הסימטריה של הגליל (שוב אני מנסה להבין את הרעיון (וההבדל בגישה) בין שני המקרים (של שני המקרים השונים בשאלות הללו)?).

 

ב.

 אני מנסה להבין מה הרעיון של המסגרת המלבנית (שוב, עבור כיוון הזרימת הזרם הנ"ל) בחישוב השדה המגנטי(את אופן החישוב הבנתי, אבל למה הבחירה בצורה הנ"ל ומהי ולמה היא עוזרת "ללכוד" את הזרם שבתוך הגליל) ?

 

ג.

 

בשרשור http://forums.techstud.net/index.php/topic/13904-%D7%A6%D7%A4%D7%99%D7%A4%D7%95%D7%AA-%D7%96%D7%A8%D7%9D/

 

הזכרת שני מקרים של חישוב שטח עבור גליל (בכיוון הרדיאלי ובכיוון ציר הסימטריה), אך מה קורה כאשר הזרם זורם בכיוון המשיקי (אני הסקתי שגם מחשבים שטח לפי מעגל, כי למשל בסעיף ג, כך מקבלים את התשובה הנכונה)?

 

ד.

האם את כיוון השדה המגנטי כאן, הסקת רק באמצעות ידיעת כיוון הזרם (כמו שאמרת שנובע מסעיף א)?

האם מידיעת כיוון הזרם בלבד (ללא שימוש בנתונים נוספים) אני יכול להסיק על כיוון השדה המגנטי (וגם ולהפך)?

 

ובאילו מקרים כאשר נתון לי השדה המגנטי, כדאי/אפשר להשתמש בנוסחה http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7B%7D%5Cbigtriangledown%20%5Ctimes%20%5Cvec%7BB%7D כדי לגלות את כיוון הזרם ?

 

 

לגבי השאלה השניה:

 

איך אפשר לענות על סעיף ה של השאלה?

 

 

שאלה נוספת:

 

 

מהי כמות המטען (Qin) עבור התחום r<R1, ולמה ?

 

 

ועד שאלה בנוגע לכיוון הזרם המושרה:

 

 

מה המשמעות של הסימן מינוס בחישוב הכא"מ, כי נתקלתי במקרים של חישוב הערך המוחלט וכאלו שלא? 

עפ"י מיטב הבנתי, זה אמור (הסימן) לעזור בקביעת כיוון הזרם המושרה (למרות שאני לרוב נוהג לחשב בערך המוחלט מבלי להתחשב בסימן, אלה אם אני אבין איך ניתן להשתמש בו כך שתמיד ייתן תשובה עקבית לצורך קביעת כיוון הזרם המושרה), נכון?

 

 

למשל איך ניתן להשתמש בזה, על מנת לחשב את מגמת הזרם בסעיף ד של השאלה הראשונה?

 

ובאופן כללי אם נניח וכיוון השדה הוא פנימה לתוך הדף:

כאשר השינוי בשטף הוא חיובי, אז הזרם המושרה יזרום נגד כיוון השעון (מתנגד לשינוי בשטף)?

וכאשר השינוי הוא שלילי (השדה הולך וקטן) , אז כיוון הזרם הוא בכיוון השעון?

 

האם כאשר כיוון השדה הוא הפוך, אז גם הכיוונים שתוארו מתהפכים?

 

 

שוב תודה על העזרה הרבה.

[אודי]

תשמע, נראה לי שפערי הידע שלך גדולים מדי מכדי שיהיה ניתן להשלים אותם בהסבר כתוב על גבי הפורום. הפורום נועד לעזור לפתור בעיות, לא ללמד אותך את הקורס ברזולוציה הזו.

אני אנסה לענות לך, אבל אם אתה ממשיך להתקל בבעיות באמת מוטב שתגש למתרגל או לחונך מהיחידה לקידום סטודנטים.

 

א+ב+ג. בעקרון עניתי על כל השאלות האלו בפוסט הקודם. כנראה שזה לא היה ברור מספיק. ננסה שוב.

מקור ההבדל בין שני המקרים הוא בכיוון הזרם. בשאלה הראשונה הזרם משיקי. בשאלה השנייה הזרם בכיוון ציר z.

לחישוב קל ונוח באמצעות חוק אמפר, המסגרת/שטח החתך צריכה להיות ניצבת לכיוון הזרם, כדי שהמכפלה הסקלרית באגף ימין של חוק אמפר תתן תוצאה פשוטה (וכדי שהאינטגרל המסלולי על השדה המגנטי גם יהיה פשוט).

לכן המסגרת מקבילה לציר z בשאלה הראשונה וניצבת לציר z בשאלה השנייה.

לכן המסגרת לא תהיה באותו הכיוון אם הכיוון של הזרם משיקי ולא רדיאלי/בציר z. בכל מצב נבחר אותה כך שתהיה ניצבת לזרם.

את הגבולות של המסגרת בכל מקרה אנחנו בוחרים לפי המקומות שבהם השדה המגנטי והזרם ידועים והמקומות שבהם הם מבוקשים. בשאלה הראשונה, השדה המגנטי מבוקש ברדיוס r<R וידוע ב-r=a. ולכן אלו הגבולות שבחרתי למסגרת.

 

ד. את כיוון השדה הסקתי מכיוון הזרם. אני יודע שמתקיים

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cnabla%20%5Ctimes%20%5Cvec%7BB%7D=%5Cmu_0%5Cvec%7BJ%7D

 

ובקואורדינטות פולריות נובע שאם הזרם בכיוון המשיקי אז לשדה המגנטי יכול להיות רכיב בכיוון z שתלוי ב-r או רכיב בכיוון r שתלוי ב-z.

אבל לא תתכן תלות ב-z בבעייה הזו כי הגלילי אינסופי, ולכן הרכיב ה-r-י צריך להיות קבוע, ואפשר לראות שהקבוע הזה הוא אפס משיקולי סימטריה.

 

בכל מקרה שבו נתון לך השדה המגנטי באופן מפורש ניתן להשתמש בחוק אמפר כדי למצוא את כיוון הזרם.

 

ה. תסתכל על חתך ניצב לציר z של הגליל. יש לך עיגול שהזרם יוצא ממנו (או נכנס אליו, תלוי מאיזה כיוון אתה מסתכל). מכל נקודה שבה אתה מבקש לחשב את השדה המגנטי, ניתן להוריד קו ישר שיחלק את העיגול לשני חצאים שווים. ניתן לראות שהתרומה בכיוון r של נקודה בחצי אחד מתבטלת ע"י התרומה בכיוון r של הנקודה הסימטרית לה בחצי השני (כי הגודל של התרומות בכיוון r זהה והכיוונים שלהן מנוגדים). את הכיוון של כל תרומה אפשר להסיק מחוק ביו סבר.

 

2. להבנתי אין מטען בכלל ב-r<R1. אומרים לך שרק הצינור טעון.

[אודי]

עפ"י מיטב הבנתי, זה אמור (הסימן) לעזור בקביעת כיוון הזרם המושרה (למרות שאני לרוב נוהג לחשב בערך המוחלט מבלי להתחשב בסימן, אלה אם אני אבין איך ניתן להשתמש בו כך שתמיד ייתן תשובה עקבית לצורך קביעת כיוון הזרם המושרה), נכון?

נכון. שים לב שהכא"מ מוגדר בחוק פאראדי בכיוון ספציפי שיתאים לחישוב השטף:

 

לפי מיטב הבנתי (אני לא בטוח) הכיוון של הכא"מ מוגדר ככיוון הכוח שפועל על מטענים חיובים במסגרת והוא הפוך מהכיוון של הפרש הפוטנציאלים שנוצר בתנועה בכיוון מסויים על המסגרת (מכיוון שהפרש הפוטנציאלים מוגדר עם מינוס יחסית לכא"מ). 

מה שכן הכיוון של הכא"מ מתאים לנורמל בכיוון מסויים על המשטח (כיוון חישוב השטף).

 

אם אנחנו מחשבים את השטף בכיוון ציר z+. אז הכא"מ הוא מינוס הפרש הפוטנציאלים בתנועה נגד כיוון השעון על מסלול סגור במישור xy.

אם הכא"מ יוצא חיובי סימן שהזרם הוא נגד כיוון השעון (זרם מטען חיובי הוא תמיד מפוטנציאל גבוה לנמוך). אם הוא יוצא שלילי סימן שהזרם הוא עם כיוון השעון. אפשר לוודא שזה מתאים לחוק לנץ, כלומר נותן תרומה לשדה המגנטי בכיוון ההפוך משינוי השטף.

 

למשל איך ניתן להשתמש בזה, על מנת לחשב את מגמת הזרם בסעיף ד של השאלה הראשונה?

אתה מקבל שהשינוי בשטף בכיוון z+ הוא שלילי (כי הנגזרת של אומגה לפי הזמן שלילית), כלומר שמינוס הנגזרת של השטף חיובית והזרם צ"ל נגד כיוון השעון.

 

ובאופן כללי אם נניח וכיוון השדה הוא פנימה לתוך הדף:

כאשר השינוי בשטף הוא חיובי, אז הזרם המושרה יזרום נגד כיוון השעון (מתנגד לשינוי בשטף)?

וכאשר השינוי הוא שלילי (השדה הולך וקטן) , אז כיוון הזרם הוא בכיוון השעון?

 

האם כאשר כיוון השדה הוא הפוך, אז גם הכיוונים שתוארו מתהפכים?

כל הטענות האלו מעורפלות, מכיוון שלא הגדרת מהו הכיוון שבו אתה מחשב את השטף. אם אתה מחשב את השינוי בשטף לתוך הדף, אז הטענות נכונות (בהנחה שכאשר הפכת את כיוון השדה הפכת גם את כיוון חישוב השטף).