שדה משמר

[RivkaRoje6]

שלום לכם 

מצורפת שלאה 

וזה מה שאני חושבת :

 

א . בגלל שהשדה משמר במישור xy לא משנה איזה מסלול נבחר מה משנה זה נקודת הסיום וההתחלה

ב . לא ידעתי לפתור .. האם צריך של למצוא משוואתת הקוו הישר שמחבר את שתי הנקודות במרחב ?

ג . איך מחפשים מסלולים כאלה ...
   והאם מספיק לומר שבגלל שהוא ל משמר מספיק לקחת שני מסלולים שונים ?

 

תודה וסליחה על ההודעה הארוכה 

 

יום טוב 

[אודי]

א. אני לא יודע אם הייתי מנסח את זה בצורה של "שדה משמר במישור xy". אפשר להיות זהירים ולומר שבמישור xy מכיוון ש-dz=0 העבודה של השדה הזה זהה לעבודה של השדה http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BF%7D=y%5Chat%7Bx%7D+x%5Chat%7By%7D שהוא משמר.

 

ב. כן. את צריכה לעבוד עם הפרמטריזציה של הישר. קל למצוא אותה כי יש לך שתי נקודות על הישר ווקטור ההפרש ביניהם הוא וקטור כיוון של הישר. אם תכפילי אותו ב-t ותוסיפי לו את נקודה A תקבלי מייד את הפרמטריזציה המתאימה:

 

x(t)=1-2t

y(t)=0

z(t)=t

 

כאשר t=0 מתאים לנקודה A ו-t=1 לנקודה C.

מכאן את יכולה להמיר את האינטגרלים לפי dx,dy,dz לאינטגרל לפי dt. מראש מתבטל לך האינטגרל לפי dy כי dy=0 וגם האינטגרל לפי dx מתבטל כי האינטגרנד מתאפס (y=0). את נשארת עם האינטגרל לפי z ואני מקבל אפס גם שם.

 

ג. לא, זה לא מספיק כי בקשו ממך מסלולים ספציפיים. נתנו לך רמז שכדאי לך להיעזר בסעיפים קודמים.

מכיוון שבסעיפים הקודמים ראית שהאינטגרל על קו ישר מ-A ל-B מתאפס והאינטגרל על קו ישר מ-A ל-C גם כן מתאפס, אם תראי שהאינטגרל מ-C ל-B לא מתאפס יהיו לך שני מסלולים שונים שבהם התוצאה לאינטגרל מ-A ל-B שונה (כי באינטגרל מ-A ל-B ישירות את מקבלת אפס ובאינטגרל מ-A ל-C ואז ל-B את מקבלת תוצאה שונה מאפס).

 

קל לראות שהאינטגרל הזה באמת לא מתאפס. עבור המסלול הישר מ-C ל-B האינטגרלים לפי dx ו-dy לא רלוונטים (כי dx=dy=0) ולאורך כל המסלול מתקיים x+y=-1 קבוע. לכן:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?W_%7BC%5Crightarrow%20B%7D=%5Cintop_1%5E0%20-1dz=1

 

ומכאן:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?W_%7BA%5Crightarrow%20C%20%5Crightarrow%20B%7D=1%20%5Cneq%20W_%7BA%5Crightarrow%20B%7D=0