לוח מוליך

[spider]

אפשר קצת עזרה בעיקר עם שני הסעיפים האחרונים

 

http://s17.postimg.org/go8r97xy7/image.png

[אודי]

1. כל הלוחות מוליכים, אז בכולם השדה הוא אפס; עבור הלוחות המוארקים גם הפוטנציאל הוא אפס.

2. משום כך, הפוטנציאל באיזור שמחוץ ללוחות חייב גם להתאפס (כי אין שם מטענים ותנאי השפה של משוואת לפלאס הם http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvarphi=0).

3. משום כך, השדה באיזור שמחוץ ללוחות חייב גם להתאפס (נגזרת של הפוטנציאל)

4. נחשב את הפוטנציאל על הלוח c באמצעות אינטגרציה מהלוח a. אנחנו יודעים שהפוטנציאל בנקודות ההתחלה והסיום הוא אפס. השדות של שלושת הלוחות תורמים לפוטנציאל; השדה של כ"א מהם פרופורציוני לצפיפות המטען שלו, והכיוון שלו מתהפך כאשר אנחנו חוצים את הלוח. לכן החישוב של הפוטנציאל נותן:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvarphi%20(%20c%20)=%5Cvarphi%20(a)-%5Cintop_0%5E%7B3d%7D(E_a+E_b+E_c)dz

http://www.codecogs.com/gif.latex?0=0-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cvarepsilon_0%7D(3d%5Csigma_a-2d%5Csigma+d%5Csigma-3d%5Csigma_c)

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csigma_a-%5Csigma_c=%5Cfrac%7B%5Csigma%7D%7B3%7D

 

5. נסתכל על מעטפת גאוסית גלילית שבסיסיה עוברים את שני המוליכים המוארקים. השטף דרכה מתאפס (כי השדה מקביל לפאות ומתאפס על הבסיסים), ולכן היא חיייבת להכיל סה"כ מטען אפס. נובע:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csigma_a+%5Csigma_c+%5Csigma=0

 

6. מערכת המשוואות מ-5 ו-6 נותנת את התשובה הסופית לשדות:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csigma_a=-%5Cfrac%7B%5Csigma%7D%7B3%7D

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csigma_c=-%5Cfrac%7B2%5Csigma%7D%7B3%7D

 

7. את הכוח על הלוח השני אנחנו מוצאים מ:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BF%7D=q_b%5Ctimes(%5Cvec%7BE_a%7D+%5Cvec%7BE_c%7D)=%5Cfrac%7BA%5Csigma%7D%7B2%5Cvarepsilon_0%7D(-%5Cfrac%7B%5Csigma%7D%7B3%7D+%5Cfrac%7B2%5Csigma%7D%7B3%7D)%5C,%5Chat%7Bz%7D=%5Cfrac%7B%5Csigma%5E2A%7D%7B6%5Cvarepsilon_0%7D%5C,%5Chat%7Bz%7D

[spider]

2. משום כך, הפוטנציאל באיזור שמחוץ ללוחות חייב גם להתאפס (כי אין שם מטענים ותנאי השפה של משוואת לפלאס הם http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvarphi=0).

תמיד כאשר אין מטען באיזור, אז הפוטנציאל הוא אפס שם (למה, כיוון שהפוטנציאל הוא בעצם חלוקת האנרגיה במטען ) ?

 

 

4. נחשב את הפוטנציאל על הלוח c באמצעות אינטגרציה מהלוח a. אנחנו יודעים שהפוטנציאל בנקודות ההתחלה והסיום הוא אפס. השדות של שלושת הלוחות תורמים לפוטנציאל;

 

השדה של כ"א מהם פרופורציוני לצפיפות המטען שלו, והכיוון שלו מתהפך כאשר אנחנו חוצים את הלוח. לכן החישוב של הפוטנציאל נותן:

 

לא מבין מה הסיבה לכך שכיוון השדה מתהפך במעברים ?

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvarphi%20(%20c%20)=%5Cvarphi%20(a)-%5Cintop_0%5E%7B3d%7D(E_a+E_b+E_c)dz

http://www.codecogs.com/gif.latex?0=0-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cvarepsilon_0%7D(3d%5Csigma_a-2d%5Csigma+d%5Csigma-3d%5Csigma_c)

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csigma_a-%5Csigma_c=%5Cfrac%7B%5Csigma%7D%7B3%7D

 

5. נסתכל על מעטפת גאוסית גלילית שבסיסיה עוברים את שני המוליכים המוארקים. השטף דרכה מתאפס (כי השדה מקביל לפאות ומתאפס על הבסיסים), ולכן היא חיייבת להכיל סה"כ מטען אפס. נובע:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csigma_a+%5Csigma_c+%5Csigma=0

 

6. מערכת המשוואות מ-5 ו-6 נותנת את התשובה הסופית לשדות:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csigma_a=-%5Cfrac%7B%5Csigma%7D%7B3%7D

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csigma_c=-%5Cfrac%7B2%5Csigma%7D%7B3%7D

 

7. את הכוח על הלוח השני אנחנו מוצאים מ:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BF%7D=q_b%5Ctimes(%5Cvec%7BE_a%7D+%5Cvec%7BE_c%7D)=%5Cfrac%7BA%5Csigma%7D%7B2%5Cvarepsilon_0%7D(-%5Cfrac%7B%5Csigma%7D%7B3%7D+%5Cfrac%7B2%5Csigma%7D%7B3%7D)%5C,%5Chat%7Bz%7D=%5Cfrac%7B%5Csigma%5E2A%7D%7B6%5Cvarepsilon_0%7D%5C,%5Chat%7Bz%7D

 

מה הסיבה שכיווני השדות מנוגדים ?

[אודי]

תשמע, אני מרגיש שחסר לך רקע תיאורטי מההרצאות. אולי כדאי שתעשה רענון.

 

2. לא, הפוטנציאל לא תמיד אפס באיזור שבו אין מטענים. ספציפית פה הוא אפס וזה נובע ממשפט קיום ויחידות. תזכורת: הפוטנציאל מקיים את משוואת לפלאס, כי מ:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cnabla%7B%5Cvarphi%7D%20=%20-%5Cvec%7BE%7D

 

ו-

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cnabla%20%5Ccdot%20%5Cvec%7BE%7D%20=%20%5Cfrac%7B%5Crho%7D%7B%5Cvarepsilon_0%7D

 

נובע:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cnabla%5E2%20%5Cvarphi=-%5Cfrac%7B%5Crho%7D%7B%5Cvarepsilon_0%7D

 

באיזור שבו אין מטענים משוואת לפלאס היא פשוט:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cnabla%5E2%20%5Cvarphi=0

 

יש הרבה פונקציות שמקיימות את המשוואה, בפרט פונקצייה קבועה. אם הפונקציה הזו מקיימת גם את תנאי השפה (פה http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvarphi=0), נובע מיחידות שהיא הפתרון של המשוואה לפוטנציאל בכל המרחב המדובר.

אם תנאי השפה היו למשל http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvarphi=C כאשר C הוא קבוע שונה מאפס, היה נובע שהפתרון במרחב הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvarphi=C. זה המצב למשל בתוך קליפה טעונה.

 

4. מטען חיובי נדחה מלוח טעון חיובית. כאשר הוא יהיה מעל הלוח הדחייה הזו תתבטא בשדה וכח כלפי מעלה; כאשר הוא מתחת ללוח היא תתבטא בשדה וכח כלפי מטה. בשני המקרים השדה פונה מהלוח והלאה. אבל הכיוון תלוי במיקום שלך יחסית ללוח.

 

7. שוב, כמו 4. הלוח האמצעי נמצא מעל לתחתון ומתחת לעליון. שניהם טעונים במטענים מנוגדים לשלו אז הם מפעילים עליו כוח משיכה. המשיכה ללוח התחתון מתבטאת בשדה כלפי מטה; המשיכה לעליון מתבטאת בשדה כלפי מעלה.