שאלה באלקטרודינמיקה (סוג של)

[Sweex]

היי.

זאת יותר שאלה בחדו"א אני מניח שכנראה שכחתי.
הזווית פיי פריים (המסומנת ב- ') היא הזווית סיבוב סביב ציר Z. למה אז הוקטור יחידה שלה מוגדר כנגזרת של מיקום אלמנט טבעת הזרם בזווית עצמה?
שוב. יש מצב שזאת שאלה טיפשית, אבל לא ממש מבין למה עושים את זה.

תודה מראש :-)

[אודי]

הניסוח שלך לא ברור לי.

אפשר תצלום של בעייה רלוונטית או של הטענה המקורית עצמה?

[Sweex]

כמובן :)

 

[אודי]

אוקי, יותר ברור.

 

- זה לא "מיקום אלמנט טבעת" - זה וקטור יחידה בכיוון הרדיאלי.

 

- כידוע לך במערכת קואורדינטות פולרית וקטור יחידה בכיוון הרדיאלי משנה את כיוונו כתלות בזווית. השינוי הזה הוא בדיוק תוספת של וקטור בכיוון המשיקי.

 

- תסתכל על גזרת עיגול שמתאימה לזוית אינפיטיסימלית http://www.codecogs.com/gif.latex?d%5Cphi. בקירוב טוב היא משולש שווה שוקיים ששתי צלעותיו הם וקטורים באורך R (אבל בכיוונים שונים), והבסיס שלו הוא בעצם קשת באורך http://www.codecogs.com/gif.latex?Rd%5Cphi בכיוון המשיקי. לפי כלל המשולש, מתקיים:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BR%7D_1+Rd%5Cphi%20%5Chat%7B%5Cphi%7D=%5Cvec%7BR%7D_2

 

חלק את השוויון ב-R ותגיע לקשר בין שני וקטורי יחידה סמוכים:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Chat%7Br%7D_1+d%5Cphi%20%5Chat%7B%5Cphi%7D=%5Chat%7Br%7D_2

 

או, מהעברת אגפים:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?d%5Cphi%20%5Chat%7B%5Cphi%7D=%5Chat%7Br%7D_2-%5Chat%7Br%7D_1=d%5Chat%7Br%7D

 

מכאן חלוקה ב-http://www.codecogs.com/gif.latex?d%5Cphi נותנת את התשובה הסופית:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Chat%7B%5Cphi%7D=%5Cfrac%7Bd%5Chat%7Br%7D%7D%7Bd%5Cphi%7D
 

[Sweex]

הבנתי. תודה :)

[Sweex]

יש לי עוד שאלה מאוד דומה וגם אני פשוט לא מבין איך מגיעים לפונקציות הטריגנומטריות בכיוונים 

[Sweex]

אם נגיד אני אכתוב ש- z=ro*sin(teta)ddd ו- r=ro*cos(teta)ddd אז אם אשתמש בהגדרה של לחלק את כיוון בגודל של הוקטור שזה ro עצמו אז מקבל שהכיוון הוא (cos(teta),0,sin(teta)) (כמו במה שרשום).
אלו מסוג הדברים הקטנים שאני יכול ליפול עליהם 

[אודי]

זו גיאומטריה/טריגונומטריה. זה לא קשור לאלקטרודינמיקה בכלל.

נסתכל על קו מהמטען q לנקודה מסויימת P על המישור. השדה של המטען q בנקודה P הוא וקטור מקביל לקו הזה.

הזווית תטא היא הזווית בין ההמשך של הקו הזה (מתחת למישור xy) לבין המישור xy, כלומר הזווית בין הוקטור E למישור xy.

לכן ההיטל של E על הכיוון הרדיאלי מתאים ל-E בנקודה כפול קוסינוס הזווית וההיטל בכיוון ציר z מתאים ל-E כפול סינוס הזווית.

[Sweex]

כן. כבר הבנתי שזה דיי פשוט 
תודה אבל בכל מקרה :)

[Sweex]

יש לי שאלה הפעם באמת באלקטרודינמיקה- בכל הקשור לטנזורי אנרציה.
עכשיו בשאלה הזו יש מספר דברים בסיסים שלא כל- כך הבנתי (המתמטיקה דווקא דיי פשוטה בסה"כ):
1. הכיוון כח השקול הוא Z כי זה ציר הסימטריה? -זה למה אני יכול להתעלם ישר משאר הכיוונים?
2. בשאלה עצמה בסופו של דבר סוכמים את התרומה של הכוח על הקליפה ועל המשטח ב- Z=0 אבל לא מתחשבים ב- bulk של החומר. למה לא? -הרי גם שיש מטען.
 

[אודי]

אני אמשיך להיות קטנוני אבל גם זו לא באמת שאלה באלקטרודינמיקה... הראשונה היא פיזיקה 2מ' והשנייה חדו"א 2מ'

אני רק מציין את זה כי כנראה שעל שאלה שהיא פרופר אלקטרודינמיקה לא היייתי יודע איך לענות לך. אני בקושי זוכר משהו מהקורס.

 

1. פילוג המטען סימטרי לחלוטין ביחס לסיבוב סביב ציר z. אתה לא יכול להבדיל בין המערכת ואחרי הסיבוב, היא נראית בדיוק אותו הדבר.

    הסימטריה הזו לא נפגמת אם אתה מחלק את המערכת הזו לחצי כדור תחתון ועליון, כי שניהם סימטרים לסיבוב סביב ציר z (להבדיל, למשל מהמקרה שבו היית מחלק אותה לחצי כדור ימני ושמאלי).

    אם היה לכח השקול רכיב במישור xy זה היה אומר שיש כיוון מועדף במישור הזה ואין סימטריית סיבוב סביב ציר z, כי הכיוון של הרכיב הזה משתנה בסיבוב. זה רומז שיש איזהשהיא אסימטיריה בפילוג המטען שיוצרת את הכוח הזה, ואין כזו.

 

2. הם השתמשו שם במשפט גאוס שהפך את האינטגרל על ה-bulk לאינטגרל משטחי מסוג שני על המעטפת שלו (על גודל אחר כמובן, הטנזור במקום הדיברגנץ שלו)

[Sweex]

שמע, יצאתי טמבל. אני עוד ראיתי את משפט גאוס ושכחתי לייחס אותו למה שצריך.
כרגיל- תודה :)

וספציפית את הבעיות האלו עם טנזור אינרציה לא היה לי בפיסיקה 2פ' אז מניח שבעבר עשו לכם את החיים יותר קשים.

[אודי]

אתה מתכוון לטנזור תנע אנרגיה, לא? טנזור אינרציה זה טנזור אחר (שלא קשור לאלקטרודינמיקה).

טנזור תנע אנרגיה אכן לא מופיע בפיזיקה 2מ' (אולי בקטע זניח בסוף לגבי גלים, לא באלקטרוסטטיקה), אבל את העקרונות של סימטריה ככלי לפישוט פתרון בעיות לומדים שם - למעשה כל ההסבר שרשמתי לך לגבי סימטריה אמור להיות מנותק לחלוטין מהחישוב הטנזורי.

 

שוב, הסיבה שאני כל הזמן סוחב את החטוטרת של מה קשור לאיזה קורס היא פשוט כדי להקל עליך (ועל מי שקורא את השרשור הזה) בעתיד.

 

אתה מבין שאם אני רואה כותרת מהסוג "שאלה באלקטרוכימיה של נוזלים צפידים" הסיכוי שאני אכנס לשרשור קטן בהרבה מאשר "שאלה לגבי מערכות צירים (מאלקטרוכימיה של נוזלים צפידים)".

[Sweex]

חחח הבנתי אותך :)
 

[Sweex]

יש לי עוד שאלה חדואאית לחלוטין-
נגיד אני רוצה לחשב שדה מגנטי בנקודה מסויימת בעזרת ביו- סבר אבל רוצה לעשות את זה בצורה פורמלית ולא של פיסיקה 2 עם הזווית בין הכיוון הנקודת תצפית לאלמנט אורך של טבעת הזרם.
איך אני בתכל'ס מתאר את האלמנט הזה dl בצורה פורמלית דרך קורדינטות (x,y,z)? 
את r אפשר כמובן לתאר בעזרת מערכת קורדינטות גלילית (rcosa,rsina,z) 

[אודי]

אם מדובר באלמנט לאורך עקום שנתון פרמטרית באמצעות הפונקציות x,y,z של t אז

 

dl=sqrt((dx/dt)²+(dy/dt)²+(dz/dt)²)dt

[Sweex]

האמת שהכוונה שלי הייתה שאם למשל ניקח טבעת שמוגדרת לה צפיפות מטען ליח' אורך כלשהי ואני מעוניין לחשב את המטען הכולל שאגור שם.
עכשיו, כמובן שאני יודע שאני מגדיר את זה כצפיפות המטען ליח' אורך כפול מכפלה סקלארית של אלמנט אורך dl ואז עושה טרנספורמציה עם יעקוביאן ואקבל את רדיוס הטבעת כפול אלמנט זווית d(teta)ddd.
השאלה שלי היא איך זה בדיוק נראה פורמלית? מה הרכיבים של הוקטור dl?
מניח שזה בלבול של דברים ששכחתי מחדו"א 2 ואם יש לך אולי איזה לינק למשהו שיסדר לי את הראש אודה לך מאוד.

[אודי]

אין שם מכפלה סקלרית.

להבנתי האינטגרל שאתה צריך הוא אינטגרל קווי מסוג ראשון (על lambda dl, כאשר lambda היא צפיפות המטען הקווית של העקום והיא תלוייה ב-x,y,z שתלויים בפרמטר t) ולא אינטגרל קווי מסוג שני.

אתה צריך סוג ראשון ולא שני כי צפיפות המטען היא שדה סקלרי ולא וקטורי.

אתה מוזמן לרענן את זכרונך לגבי ההבדל בערך ויקיפדיה הרלוונטי.

 

כרגע אין בפורום תמיכה ב-tex, כשיהיה אני ארשום את זה פורמלית יותר אם עדיין תצטרך

[אודי]

רק דברתי ואני רואה שה-tex חזר.

 

בכל מקרה, זה האינטגרל שאתה צריך:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?Q=%5Cintop%20%5Clambda(x,y,z)%5C,dl=%5Cintop%20%5Clambda(x(t),y(t),z(t))%20%5Csqrt%7B%5Cdot%7Bx%7D%5E2+%5Cdot%7By%7D%5E2+%5Cdot%7Bz%7D%5E2%7D%5C,dt

 

לדוגמא, נניח שאנחנו מתעניינים בטבעת:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?x(t)=6%20%5Ccos(t)

http://www.codecogs.com/gif.latex?y(t)%20=%206%20%5Csin(t)

http://www.codecogs.com/gif.latex?z(t)=8

 

שיש לה צפיפות מטען:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clambda(x,y,z)=%5Cfrac%7BA%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2+y%5E2+z%5E2%7D%7D=%5Cfrac%7BA%7D%7B10%7D

 

כאשר בשוויון האחרון הצבתי את הפרמטריזציה של העקום ו-A הוא קבוע עם מימדים של מטען שנועד לסדר את היחידות. מתקבל מהנוסחה לאינטגרל קווי מסוג ראשון לעיל:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?Q=%5Cintop_0%5E%7B2%5Cpi%7D%5Cfrac%7BA%7D%7B10%7D%5Ctimes%206%5C,dt=%5Cfrac%7B6%7D%7B5%7D%5Cpi%20A

 

וקל לך לוודא שהחישוב מתאים לחישוב הישיר והפשוט יותר של מכפלת http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clambda הקבוע בהיקף הטבעת.

[אודי]

אגב, הסיטואציה של חישוב מטען כולל לא בדיק מקבילה לביו סבר, כי שם יש לך מכפלה וקטורית והתוצאה הסופית היא וקטור.

אבל זה אמור לצאת בסופו של דבר שלושה אינטגרלים קווים מסוג ראשון (אחד עצמאי לכל רכיב) ולא אינטגרל קווי אחד מסוג שני, כי אין שם מכפלה סקלרית.

[Sweex]

תותח :) תודה ענקית
רק עוד שאלה אחת ואני מקווה שאעזוב לחלוטין עם החדו"א הזאת.
אני רוצה לחשב מומנט דיפול מגנטי לפי ההגדרה שזה אינטגרל נפחי על המכפלה הוקטורית של צפיפות הזרם והרדיוס וקטור.
עכשיו, בתרגיל עליו אני מדבר יש קליפה כדורית מסתובבת בתדירות אומגה ובעלת מטען Q ורדיוס a אז הצפיפות זרם צריכה להיות :

http://www.codecogs.com/gif.latex?(Q/%5Cpi%20*a%5E2)*%5Cdelta%20(r-a)%5Comega%20*a%5E2*sin%5Ctheta%20(cos(%5Cphi)%5Chat%7By%7D-sin(%5Cphi)%5Chat%7Bx%7D%20)

עכשיו, אני קובע רדיוס וקטור בקורדינטות קרטזיות x,y,z ומבצע מכפלה וקטורית וזה מביא לי איברים בכל הכיוונים אבל הפתרון הוא הפתרון הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?Q*%5Comega*a%5E2/3%5Chat%7Bz%7D

 

מה לא עשיתי נכון?

 

[אודי]

כדי שהקוד יפורמט נכון בפורום אתה צריך למסגר אותו עם tex בסוגרים מרובעים. תעשה צטט לתגובה שלי כדי לראות איך זה נראה.

אתה יכול לסמן טקסט ואז לבחור את הפורמט שלו עם האייקון (סמליל!) שנמצא מימין לבחירת הגופן שלך. tex היא אחת האפשרויות שם.

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?(Q/%5Cpi%20*a%5E2)*%5Cdelta%20(r-a)%5Comega%20*a%5E2*sin%5Ctheta%20(cos(%5Cphi)%5Chat%7By%7D-sin(%5Cphi)%5Chat%7Bx%7D%20)

 

הפתרון הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?Q*%5Comega*a%5E2/3%5Chat%7Bz%7D

[Sweex]

אוקיי. ערכתי

[אודי]

אגב, אני לא בטוח שהביטוי לצפיפות הזרם שלך נכון.

 

עריכה: לא שמתי לב שאתה מחשב דיפול מגנטי

:oops:

ההסבר (שערכתי) היה נכון לביו סבר.

[אודי]

עריכה - עוד אמירות לא רלוונטיות לגבי ביו-סבר

[Sweex]

הצפיפות מטען המשטחית היא Q/4*pi*a^2 אבל אני אביא את כל התרגיל כי בטוח לא הוספתי משהו.
זה סעיף ד' והמומנט דיפול המגנטי אותו אחד שרשמתי בתגובה הקודמת שלי.

[אודי]

הצפיפות מטען המשטחית היא Q/4*pi*a^2

כן, זה מה שכתבתי עד כדי פונקציית דלתא

 

זה סעיף ד' והמומנט דיפול המגנטי אותו אחד שרשמתי בתגובה הקודמת שלי.

אין פתרון לסעיף הזה?

[Sweex]

אין פתרון . יש רק תשובה סופית :\
בגלל זה שואל כי כל פעם יוצאת לי תשובה לא נכונה וזה משגע אותי למה.

[אודי]

אוקי, אז גם ל-J אני מקבל תוצאה שונה משלך, אם כי לא בהרבה:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BJ%7D=%5Csigma%5Cvec%7Bv%7D

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csigma=%5Cfrac%7BQ%5Cdelta(r-a)%7D%7B4%5Cpi%20a%5E2%7D

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bv%7D=%5Comega%20a%20%5Csin%20%5Ctheta%20%5Chat%7B%5Cphi%7D

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BJ%7D=%5Cfrac%7B%5Comega%20Q%5Cdelta(r-a)%5Csin%5Ctheta%7D%7B4%5Cpi%20a%7D%5Chat%7B%5Cphi%7D

[אודי]

אוקי, קבלתי את התשובה הנכונה.

:)

ייקח כמה זמן לכתוב אותה. המפתח הוא להסתכל על הזוויות באינטגרל ולראות איזה רכיב קרטזי של המומנט מתאפס. יוצא שרכיבי x ו-y מתאפסים כי נשארים בהם קוסינוס או סינוס של פי.

[אודי]

עבור:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BJ%7D=%5Cfrac%7B%5Comega%20Q%7D%7B4%5Cpi%20a%7D%20%5Cdelta(r-a)%5Csin%5Ctheta(-%5Csin%5Cphi%20%5Chat%7Bx%7D+%5Ccos%5Cphi%20%5Chat%7By%7D)

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Br%7D=r%5Csin%5Ctheta%5Ccos%5Cphi%20%5Chat%7Bx%7D+r%5Csin%5Ctheta%5Csin%5Cphi%20%5Chat%7By%7D%20+%20r%5Ccos%5Ctheta%20%5Chat%7Bz%7D

 

נסתכל על האינטגרנד שלנו, שהוא הוקטור:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?d%5Cvec%7Bm%7D=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cvec%7Br%7D%5Ctimes%20%5Cvec%7BJ%7D%20%5C,%20r%5E2%20%5Csin%5Ctheta%20%5C,dr%5C,d%5Ctheta%5C,d%5Cphi

 

כשלמרות שהאינטגרציה היא בקואורדינטות כדוריות אנחנו מבטאים את המכפלה הוקטורית בקואורדינטות קרטזיות. מותר לנו.

בפרט, נסתכל על התלות הזוויתית של הרכיבים הקרטזים שתקבע לנו איזה רכיב יתאפס ואיזה רכיב יישאר אחרי האינטגרציה.

כשעושים את החשבון מסודר מגלים שניתן לרשום את הרכיבים בצורה הבאה:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?d%5Cvec%7Bm%7D_x=-A(%20r%20)%5Csin%5E2%5Ctheta%5Ccos%5Ctheta%5Ccos%5Cphi%5C,dr%5C,d%5Ctheta%5C,d%5Cphi

http://www.codecogs.com/gif.latex?d%5Cvec%7Bm%7D_y=-A%20(%20r%20)%20%5Csin%5E2%5Ctheta%5Ccos%5Ctheta%5Csin%5Cphi%5C,dr%5C,d%5Ctheta%5C,d%5Cphi

http://www.codecogs.com/gif.latex?d%5Cvec%7Bm%7D_z=A%20(%20r%20)%5Csin%5E3%5Ctheta%5C,dr%5C,d%5Ctheta%5C,d%5Cphi

 

עבור:

http://www.codecogs.com/gif.latex?A(%20r%20)=%5Cfrac%7BwQr%5E3%7D%7B8%5Cpi%20a%7D%20%5Cdelta(r-a)

 

ברור שהאינטגרל על רכיבי x ו-y יתאפס (אין צורך אפילו לחשב אותו) כי יש שם קוסינוס וסינוס פי שמחזוריות בשני פאי. נשאר לנו האינטגרל על רכיב z והוא פריק:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bm%7D=%5Cintop%20m_z%20%5Chat%7Bz%7D=%5Cintop_0%5E%7B%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7BwQr%5E3%7D%7B8%5Cpi%20a%7D%20%5Cdelta(r-a)%5C,%20dr%20%5Cintop_0%5E%7B2%5Cpi%7D%5C,d%5Cphi%20%5Cintop_0%5E%7B%5Cpi%7D%5Csin%5E3%5Ctheta%5C,d%5Ctheta%5C,%20%5Chat%7Bz%7D

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bm%7D=%5Cfrac%7BwQa%5E2%7D%7B8%5Cpi%7D%5Ctimes%202%5Cpi%20%5Ctimes%20%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%5Chat%7Bz%7D=%5Cfrac%7BwQa%5E2%7D%7B3%7D%20%5Chat%7Bz%7D

[Sweex]

משום מה לא רואה כלום.
אבל תודה ענקית אודי! :) -מזל ענקי שאתה פה עוזר לסטודנטים מפוזרים כמוני

[אודי]

יש בעייה עם תוסף ה-tex לפורום. הוא בא והולך.

אם תעשה צטט להודעה תוכל לקבל רושם כללי לגבי הנוסחאות, אבל הכי טוב שפשוט תחכה.

בפעם הקודמת זה לקח יום וחצי עד שזה הסתדר, והבעייה חזרה היום בשתיים בלילה בערך.

[אודי]

אלו הנוסחאות החשובות בדרך למעלה, התוצאות לרכיבים האינפיטיסמילים של מומנט הדיפול והן ברורות מספיק גם בלי tex.

 

dm_x=-A( r ) sin^2 theta cos theta cos phi dr dtheta dphi

dm_y=-A( r ) sin^2 theta cos theta sin phi dr dtheta dphi

dm_z=A( r ) sin^3 theta dr dtheta dphi

 

A( r )=wQr^3*delta(r-a)/[8*pi*a]

 

תשווה למה שיצא לך. אם יש הבדלים אז זו כנראה הסיבה שרכיבי x ו-y לא התאפסו באינטגרציה.

[אודי]

ובדיוק כשעשיתי את זה ה-tex חזר

מישהו שם צוחק עלי.

[Sweex]

:D