שדה חשמלי שנוצר משדה מגנטי

[אודי ב]

עזרה בשאלה הבאה:

 

http://i62.tinypic.com/2jb9mdu.jpg

 

זקוק להדרכה.

[אודי]

מאיפה התרגיל? האם יש תשובה סופית להשוות אליה? כי השאלה מנוסחת באופן חסר ביותר, לטעמי. האם הגליל מלא או ריק?

[אודי]

עריכה: טוב, זה המיטב שאני מסוגל לו כרגע. אולי יהיו תיקונים בהמשך. מידע נוסף על מקור הבעייה ותשובה סופית, אם יש, עשוי להועיל. אני פשוט לא זוכר מספיק טוב את החומר הזה.

 

1. קודם כל, (אתה כנראה אמור להסיק לבד ש)הגליל אינו מוליך. לו הוא היה מוליך, השדה בו היה אפס; לו השדה בו היה אפס, בפרט האינטגרל המסלולי על שפת הגליל (בכל z קבוע שתבחר) היה נותן אפס, כלומר הנגזרת של השטף המגנטי לפי הזמן הייתה מתאפסת (מחוק פאראדיי). אבל אתה יודע שזה לא יכול להיות כי הנגזרת של השטף יוצאת פשוט C כפול השטח של המעגל, כלומר היא קבוע חיובי שונה מאפס.

 

2. אם הגליל אינו מוליך הרי שאין פה מעגל סגור ולא יכול להיות זרם במוט. כלומר גם J=0 בכל המרחב.

 

3. אתה יודע ש-J=0 ושהרוטור של B הוא אפס (כי B הוא וקטור בכיוון z בלבד שאין לו תלות ב-x או ב-y, או http://www.codecogs.com/gif.latex?B=Ct%5Chat%7Bz%7D). מכאן נובע (חוק אמפר) שגם הנגזרת של השדה החשמלי לפי הזמן מתאפסת, כלומר השדה החשמלי הוא וקטור קבוע שאינו תלוי בזמן בכל המרחב (אם כי הוא כמובן יכול לקבל ערכים שונים כתלות במקום).

 

4. מכיוון שהמוט נייטרלי (? ברירת המחדל לגבי מוליך, היה צריך להיות נתון אם יש לו עודף מטען) לבעייה יש סימטריה גלילית מלאה* בכל המרחב. מכאן נובע גם שהשדה החשמלי בציר z צריך להתאפס.

 

5. המשך הפתרון תלוי בשאלה האם הגליל מלא או ריק, כלומר, אם ניתן להניח שהשדה בתוכו מתאפס מחוק גאוס (כי אין מטענים והמוליך נייטרלי). או לא. השדה מחוץ לגליל משותף לשני המקרים; השדה בתוך הגליל יהיה אפס אם הוא ריק ושונה מאפס אם הוא לא ריק. בשני המקרים מקבלים סתירה, לדעתי; אם תניח שהשדה הוא אפס תקבל סתירה עם חוק אמפר (שלא מתקיים בתוך הגליל). אם תניח שהוא שונה מאפס תקבל הפרה של הסימטריה הגלילית שנדרשנו לה כדי לפתור את הבעייה, כי השדה במוליך עדיין חייב להיות אפס.

אני כנראה לא זוכר משהו לגבי התנאים של חוק אמפר. הוא אמור להיות נכון רק למוליך? כי אם כן אי אפשר להשתמש בו בכלל בבעייה הזו...

 

6. נמשיך עם ההנחה שהשדה בפנים מתאפס ויש סימטריה גלילית, וחוק אמפר לא מתקיים שם מסיבה כלשהיא. נשארנו עם שני רכיבים, הרדיאלי והמשיקי. נסתכל קודם על הרכיב המשיקי. מחוק פאראדיי, עבור כל טבעת סגורה מסביב לגליל (או על שפתו) נובע:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?2%5Cpi%20r%20E_%7B%5Cvarphi%7D=%5Cpi%20R%5E2C

 

כלומר

http://www.codecogs.com/gif.latex?E_%7B%5Cvarphi%7D=%5Cfrac%7BCR%5E2%7D%7B2r%7D

 

בכל המרחב משפת הגליל והלאה.

 

בתוך הגליל.

 

6. עכשיו, נסתכל על הרכיב הרדיאלי. מרכיב z של רוטור בקואורדינטות גליליות (שהוא מינוס הנגזרת של השדה המגנטי לפי הזמן) נובע:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7Br%7D(%5Cfrac%7B%5Cpartial(rE_%7B%5Cvarphi%7D)%7D%7B%5Cpartial%20r%7D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E_r%7D%7B%5Cpartial%20%5Cvarphi%7D)=-C

 

אבל האיבר הראשון נותן אפס לפי הרכיב המשיקי שמצאנו מחוץ לגליל ולכן נשארים עם:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E_r%7D%7Br%5Cpartial%20%5Cvarphi%7D=C

 

או

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?E_r=Cr%5Cvarphi

 

7. התשובה הסופית היא שעל השפה ומחוץ לגליל השדה נתון ע"י הביטוי:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?E=Cr%5Cvarphi%20%5Chat%7Br%7D%20+%20%5Cfrac%7BCR%5E2%7D%7B2r%7D%20%5Chat%7B%5Cvarphi%7D

 

ובתוך הגליל הוא אפס.

 

* ההנחה הזו מופרת אם הגליל, המבודד, כאמור, טעון באיזושהיא צפיפות מטען לא אחידה שתלויה ב-z. אבל בהיעדר נתונים נוספים עליה אנחנו נאלץ להניח שהיא לא קיימת.