שאלה בחישוב שטף

[dekel9000]

שלום, אשמח לעזרה בפתרון סעיף ב' של שאלה זו

 

ניסתי את האינטגרל המשלוש (עם הדיברגנץ) לפתור בעזרת קאורדינטות כדוריות, אבל זה יוצא משוגע ולא מהנה בכלל.

לפי הפתרון המוצע, ראיתי שימוש במומנטים (שלא הבנתי בדיוק את המשמעות)

 

תודה

[אודי]

עכשיו גם צריך להינות מפתרון בחינות?

 

כבודם של מומנטים במקומם מונח, אני לא מכיר דרך אחרת לפתור את האינטגרל הזה פרט לקואורדינטות כדוריות. אני גם לא רואה את הסיבוך הגדול כי האינטגרל שאת מקבלת הוא סכום של אינטגרלים פריקים ופרידים.

בנוסף, לא צריך לחשב את כולם כי ברור שחלקם מתאפס מסימטריה.

אז צריך להשתמש בקצת זהויות טריגונומטריות. זה לא מה שישבור אותנו.

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cnabla%20%5Ccdot%20F%20=%202(x+y+z+1)

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?I=%5Cintop%20%5Cintop%20%5Cintop%20%5Cnabla%20%5Ccdot%20F%20dx%20dy%20dz

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?I=%5Cintop_0%5E%7B2%5Cpi%7D%20%5Cintop_%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%5E%7B%5Cpi%7D%20%5Cintop_0%5Ea%202(r%5Csin%5Ctheta%5Ccos%5Cvarphi+r%5Csin%5Ctheta%5Csin%5Cvarphi+r%5Ccos%5Ctheta+a+1)r%5E2%5Csin%5Ctheta%5C,dr%5C,d%5Ctheta%5C,d%5Cvarphi=I_1+I_2+I_3+I_4

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?I_1=%5Cintop_0%5E%7B2%5Cpi%7D%20%5Cintop_%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%5E%7B%5Cpi%7D%20%5Cintop_0%5Ea%202r%5E3%5Csin%5E2%5Ctheta%5Ccos%5Cvarphi%5C,dr%5C,d%5Ctheta%5C,d%5Cvarphi=0

http://www.codecogs.com/gif.latex?I_2=%5Cintop_0%5E%7B2%5Cpi%7D%20%5Cintop_%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%5E%7B%5Cpi%7D%20%5Cintop_0%5Ea%202r%5E3%5Csin%5E2%5Ctheta%5Csin%5Cvarphi,dr%5C,d%5Ctheta%5C,d%5Cvarphi=0

 

מכיוון שקוסינוס וסינוס מחזוריות בשני פאי ויש פה קוסינוס וסינוס של פי שרצה על כל התחום.

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?I_3=%5Cintop_0%5E%7B2%5Cpi%7D%20%5Cintop_%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%5E%7B%5Cpi%7D%20%5Cintop_0%5Ea%202r%5E3%5Csin%5Ctheta%5Ccos%5Ctheta%5C,dr%5C,d%5Ctheta%5C,d%5Cvarphi=%5Cpi%20a%5E4%20%5Cintop_%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%5E%7B%5Cpi%7D%20%5Csin%5Ctheta%20%5Ccos%20%5Ctheta%20%5C,d%5Ctheta=-%5Cfrac%7B%5Cpi%20a%5E4%7D%7B2%7D

 

כאשר השתמשתי בעובדה שהאינטגרנד באינטגרל של תטא הוא פשוט נגזרת של חצי סינוס בריבוע תטא.

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?I_4=2(a+1)V=%5Cfrac%7B4%5Cpi%20a%5E3(a+1)%7D%7B3%7D

 

כי זה יוצא פשוט 2a+2 פעמים נפח חצי כדור, או a+1 פעמים נפח כדור ברדיוס a. מכאן:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?I=I_3+I_4=%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%5Cpi%20a%5E4+%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%5Cpi%20a%5E3-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cpi%20a%5E4=%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%5Cpi%20a%5E3+%5Cfrac%7B5%7D%7B6%7D%5Cpi%20a%5E4

[אודי]

תקנתי טעות בהצבה של http://www.codecogs.com/gif.latex?z=a+r%5Ccos%5Ctheta

[dekel9000]

אודי אתה אלוף עולם!  תודה רבה לך!!!

שיהיה ערב טוב

[אודי]

ערב טוב!