שאלה באינטגרל משולש

[dekel9000]

ערב טוב,
אשמח לעזרה בשאלה הזו...

אבל לא בדרך של קאורדינטות

 

חשבתי בגלל שמבקשים נפח אפשרי לעשות את נפח הספירה פחות נפח החרוט, ובכך להגיע לנפח החסום

כלומר לפי נוסחאות הנפחים

האם זה חוקי ? (כי משום מה זה לא עובד לי אבל אולי פשוט עשיתי טעות בדרך)

 

תודה

[dekel9000]

או שאולי בכלל לא הבנתי את הנפח שצריך לחשב

האם זו החתיכה הקטנה בין החרוט לכדור? (שפחות טריוואלי להבין)

[אודי]

- מבקשים את החתיכה הקטנה, לדעתי, למרות שהיו צריכים לציין. אני חושב שזו הקטנה כי מציינים קודם את החרוט ואז את הכדור, מה שרומז שהקטע המבוקש הוא זה שבו החרוט נמוך יותר מהכדור (הפיסה הקטנה).

 

- חיסור נפח חרוט מכדור (לחישוב החתיכה הגדולה, אגב) לא יעבוד כי לפיסה הקטנה יש "בסיס" שהוא קליפה כדורית, לא בסיס ישר כמו חרוט רגיל. אין לך נוסחא לחישוב נפח כזה.

 

- זה כנראה לא מאוד חדו"א 2 מצידי, אבל נראה לי שהדרך הפשוטה ביותר היא לחשב את נפח הגוף הזה כנפח גוף סיבוב מסביב לציר z.

 

א. נסתכל למשל על מישור xz בצד החיובי של ציר x. החיתוך של חצי המישור הזה עם החרוט הוא הקו x=z והחיתוך של חצי המישור הזה עם הכדור הוא חצי המעגל http://www.codecogs.com/gif.latex?x=%5Csqrt%7B16-z%5E2%7D. הם נחתכים בנקודה http://www.codecogs.com/gif.latex?x=z=%5Csqrt%7B8%7D.

   מ-z=0 עד הנקודה הזו הנפח של גוף הסיבוב המבוקש נמצא בין היטל החרוט על חצי המישור לציר z ומהנקודה הזו עד לחיתוך עם ציר z (ב-z=4) הנפח המבוקש נמצא בין ההיטל של הכדור על חצי המישור לציר z.

 

ב. נפח של גוף סיבוב של פונקציה http://www.codecogs.com/gif.latex?x(z) מסביב לציר z הוא:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?V=%5Cpi%20%5Cintop%20x(z)%5E2dz

 

לכן הנפח המבוקש הוא:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?V=%5Cpi%20%5B%5Cintop_0%5E%7B%5Csqrt%7B8%7D%7Dz%5E2%5C,dz+%5Cintop_%7B%5Csqrt%7B8%7D%7D%5E4%20(16-z%5E2)%5C,dz%5D=%5Cfrac%7B32%5Cpi(4-%5Csqrt%7B8%7D)%7D%7B3%7D

 

תשובה לא יפה בעליל, אבל זה מה שאני מקבל

[אודי]

האפשרות שכיוונו אליה הייתה כנראה לחשב בעזרת קואורדינטות פולריות - אפשר לפרק את הפיסה הזו לעיגולים עיגולים שהרדיוס שלהם תלוי ב-z:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?r(z)=z%20%5C,%7C%5C,z%20%5Cleq%20%5Csqrt%7B8%7D

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?r(z)=%5Csqrt%7B16-z%5E2%7D%5C,%7C%5C,z

 

באופן (לא) מפתיע הדרך הזו זהה לחלוטין מבחינה חישובית לחישוב נפח של גוף סיבוב. גם פה יהיו לך שני אינטגרלים בין אותם שני קטעים, וגם פה התוצאה תהיה זהה למה שרשמתי. ההבדל היחידי הוא שפה תצטרכי לעשות את האינטגרלים בתטא ו-r לפני שתגיעי לביטוי מהפוסט הקודם.