כמה שאלות בחדו"א ..

[mahmoudz14]

שלום וערב טוב , יש לי כמה שאלות מצורפות ואני צריך עזרה לפתור .. תודה מראש :)

[אודי]

תשמע, הרעיון של למידה (שלך) לבחינה הוא שאתה תפתור מבחנים, לא שאני אפתור מבחנים. תרגיל שאני פותר מועיל לך הרבה פחות מאותו תרגיל כשאתה פותר אותו לבד.

 

1.

 

 

א. ממשוואות המישורים, הוקטורים הניצבים לכל מישור הם http://www.codecogs.com/gif.latex?(1,-1,-1) ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?(2,2,-1). מכפלה וקטורית שלהם תתן את הכיוון של ישר החיתוך, שמוכל בשני המישורים ולכן ניצב לשני הוקטורים. אחרי נרמול הכיוון הזה יוצא http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B(3,-1,4)%7D%7B%5Csqrt%7B26%7D%7D.

   

ב. ישר החיתוך שלך עובר דרך הראשית (כי שני המישורים עוברים שם). כדי למצוא את הנקודה הקרובה ביותר אפשר לחשב את ההיטל של הוקטור http://www.codecogs.com/gif.latex?(0,%200,%20%5Cfrac%7B13%7D%7B2%7D) על וקטור הכיוון של הישר, ואז נדע איזה מרחק צריך להתקדם מהראשית על הישר כדי להגיע לנקודה הקרובה ביותר. את ההיטל נמצא באמצעות מכפלה סקלרית: http://www.codecogs.com/gif.latex?h=(0,%200,%20%5Cfrac%7B13%7D%7B2%7D)%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B(3,-1,4)%7D%7B%5Csqrt%7B26%7D%7D=%5Csqrt%7B26%7D

 

ג. עכשיו, הנקודה הקרובה ביותר על הישר נמצאת במרחק ההיטל מהראשית לאורך וקטור הכיוון של הישר, כלומר: http://www.codecogs.com/gif.latex?%20P=(0,0,0)+h%5Cfrac%7B(3,-1,4)%7D%7B%5Csqrt%7B26%7D%7D=(3,-1,4). מפה מתקבל מייד http://www.codecogs.com/gif.latex?A+B+C=6.

 

 

 

2.

 

 

א. הגרדיינט של הפונקצייה f ניצב לקווי הרמה, כלומר אם נקח את וקטור הכיוון של הישר שהוא קו רמה ואת הוקטור המשיק למעגל בנקודה http://www.codecogs.com/gif.latex?(0,1,1) (שבה נפגשים שני קווי הרמה שלנו) אזי הגרדיינט של f יהיה המכפלה הוקטורית שלהם.

 

ב. קל לראות שוקטור הכיוון של הישר שהוא קו רמה הוא גם http://www.codecogs.com/gif.latex?(0,1,1) (כי הישר הזה עובר בראשית ובנקודה הזו), ושהוקטור המשיק למעגל בנקודה הוא פשוט http://www.codecogs.com/gif.latex?(-1,0,0) (כי המעגל מקביל למישור xy ומדובר בנקודה העליונה שלו). המכפלה הוקטורית בין שניהם נותנת את הוקטור http://www.codecogs.com/gif.latex?(0,1,-1) שהוא כיוון הגרדיינט ווקטור הכיוון של הישר שמחפשים.

 

ג. מכיוון שהישר שאנחנו מחפשים עובר בנקודה, יש מספיק נתונים כדי לבנות את משוואת הישר (וקטור כיוון ונקודה) בפרט, הפרמטריזיציה המתאימה היא:

http://www.codecogs.com/gif.latex?y=t

http://www.codecogs.com/gif.latex?z=-t+2

ונובע http://www.codecogs.com/gif.latex?y=2-z

 

 

 

3.

 

 

א. עוברים לקואורדינטות פולריות. התחום המדובר הוא חצי עיגול ברדיוס a סביב הראשית, והחצי העליון (אפשר לראות כי המשוואה http://www.codecogs.com/gif.latex?y=%5Csqrt%7Ba%5E2-x%5E2%7D מתארת את חצי המעגל http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E2+y%5E2=a%5E2 שנמצא מעל לציר x).

 

ב. לאחר המרה ומכפלה ביעקוביאן (http://www.codecogs.com/gif.latex?r), האינטגרנד שלנו הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?r%5E4. כלומר האינטגרל הוא:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cintop_0%5E%7B%5Cpi%7D%20%5Cintop_0%5Ea%20r%5E4%5C,dr%5C,d%5Ctheta=%5Cfrac%7B%5Cpi%20a%5E5%7D%7B5%7D

 

 

 

4.

 

 

א. עוברים לקואורדינטות פולריות. מתקיים:

http://www.codecogs.com/gif.latex?dx=-r%5Csin%20%5Ctheta%20d%5Ctheta%20+%20%5Ccos%20%5Ctheta%20dr

http://www.codecogs.com/gif.latex?dy=r%5Ccos%20%5Ctheta%20d%5Ctheta%20+%20%5Csin%20%5Ctheta%20dr

 

אבל לאורך המסלול שלנו (מעגל ברדיוס a מסביב לראשית) dr=0 ולכן אפשר להתעלם מהרכיב השני בהצבה.

ולכן:

http://www.codecogs.com/gif.latex?W=%5Cintop(%5Cfrac%7B2x-2y%7D%7Bx%5E2+y%5E2%7Ddx+%5Cfrac%7B2x+2y%7D%7Bx%5E2+y%5E2%7Ddy)=%5Cintop_0%5E%7B2%5Cpi%7D%5Cfrac%7B-(2r%5Ccos%5Ctheta-2r%5Csin%5Ctheta)r%5Csin%5Ctheta+(2r%5Ccos%5Ctheta+2r%5Csin%5Ctheta)r%5Ccos%5Ctheta%7D%7Br%5E2%7Dd%5Ctheta

 

כאשר השתמשנו ב-http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E2+y%5E2=r%5E2.

 

ב. לאחר כינוס איברים מקבלים פשוט:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?W=%5Cintop_0%5E%7B2%5Cpi%7D%5Cfrac%7B2r%5E2%7D%7Br%5E2%7Dd%5Ctheta=%5Cintop_0%5E%7B2%5Cpi%7D%202%20d%5Ctheta=4%5Cpi

 

 

[mahmoudz14]

אודי המון תודה לך עזרת לי מאד .
בקשר לזה ששאלתי הרבה , אני נתקעתי בשאלות האלה וניסיתי לפתור ללא הצלחה (אגב השאלות משני מבחנים שונים) , וחיפשתי להן פתרון ולא מצאתי :\
השאלה היא כשאני מגיע למצב כזה מה אתה ממליץ לי לעשות ? אני אשמח להערות או עיצות , ושוב תודה רבה על הכל :) (Y)

[אודי]

אני נזהר מאוד מלחלק לאנשים אחרים עצות איך ללמוד, כי מה שמתאים לי לא מתאים בהכרח לאנשים אחרים.

גם את השורה הזו שכתבתי ערכתי שוב ושוב כדי לבחור ניסוח כמה שפחות קטגורי, ואפילו עכשיו אני לא בטוח שהייתי צריך לכתוב אותה

 

...בכל מקרה, אזהרות בטאבו בצד, מה שאני הייתי עושה בסיטואציה הוא לנסות לראות אם יש מכנה משותף לשאלות שאני נתקע בהן.

האם יש נושא מסויים שאני פחות שולט בו? משהו ספציפי שאני לא מבין או לא יודע איך להתמודד איתו?

אם הצלחתי לבודד נושא כזה (או שניים), אפשר ללכת ולחזור עליו (או עליהם) נקודתית (בסיכומי הרצאות, תרגולים ובש"ב).

לא הייתי חוזר על כל החומר בשלב הזה, נראה לי פחות יעיל מפתרון מבחנים, אבל אם יש לך מספיק זמן (ויותר מדי נושאים בעייתיים), גם זו אופצייה.

אחרי שחזרתי על הנושא/ים הייתי מנסה לפתור שוב תרגילים רלוונטיים.

 

כיוון אפשרי אחר ללא חזרה על החומר הוא לחזור לפתרונות של ש"ב, אם יש לך, ולנסות לאתר שם תרגילים דומים לאלו שאתה נתקע בהם בבחינה. גם זה יהיה יעיל בעיקר אם אתה יודע לבודד באיזה נושא יש לך בעייה.

[אודי]

אופצייה נוספת היא למצוא מישהו שיש לו אותן בעייות (נתקע הרבה בפתרון מבחנים) ולנסות לשבת על מבחנים ביחד, מהרעיון שכ"א עשוי לדעת להתמודד עם השאלות שהשני לא מצליח לפתור.

...צריך להיזהר עם זה, כי ללימודים בקבוצה יש נטייה להפוך ללא אפקטיביים אם כל הצדדים המדוברים לא מעוניינים באותו הדבר (לפתור כמה שיותר מבחנים, במקרה זה) או אם ההבדל ברמת הבעיות קיצוני מדי (ואז צד אחד יוצא מתוסכל).

 

לא חשבתי על האופצייה הזו מייד כי באופן אישי היא לא מתאימה לי.

קשה לי ללמוד למבחן בקבוצה, אני מעדיף להתעמת עם החומר לבד. אבל יש אנשים שזה עובד להם.