שאלת בחדו"א 2

[mahmoudz14]

שלום , אשמח לעזרה בשאלה המצורפת , תודה מראש ..

[אודי]

וקטורי היחידה המתאימים לנגזרות המכוונות הנ"ל הם:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Chat%7BAB%7D=%5Chat%7Bx%7D

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Chat%7BAD%7D=%5Ccos%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%7D%7D%5Chat%7Bx%7D+%5Csin%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%7D%7D%5Chat%7By%7D=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Chat%7Bx%7D+%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D%5Chat%7By%7D

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Chat%7BAC%7D=%5Ccos%7B%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B3%7D%7D%5Chat%7Bx%7D+%5Csin%7B%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B3%7D%7D%5Chat%7By%7D=-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Chat%7Bx%7D+%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D%5Chat%7By%7D

 

(חישוב ארוך ולא באמת נחוץ בספוילר. לדרך הקצרה המשך להודעה הבאה)

 

 

 

אם נסמן את רכיבי הגרדיינט של f בראשית כ:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cnabla%20f(0,0,0)=c_x%20%5Chat%7Bx%7D+c_y%20%5Chat%7By%7D+c_z%5Chat%7Bz%7D

 

אזי ניתן לבנות מערכת משוואות ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?c_x ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?c_y מידיעת הנגזרות המכוונות בכיוונים AB ו-AC:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?Df_%7B%5Cvec%7BAB%7D%7D(0,0,0)=%5Cnabla%20f(0,0,0)%20%5Ccdot%20%5Chat%7BAB%7D=c_x=a

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?Df_%7B%5Cvec%7BAC%7D%7D(0,0,0)=%5Cnabla%20f(0,0,0)%20%5Ccdot%20%5Chat%7BAC%7D=-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dc_x+%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7Dc_y=b

 

הפתרון של המערכת הוא:

http://www.codecogs.com/gif.latex?c_x=a

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?c_y=%5Cfrac%7Ba+2b%7D%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D

 

וכעת ניתן לחשב את הנגזרת המכוונת האחרונה ולקבל:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?Df_%7B%5Cvec%7BAD%7D%7D(0,0,0)=%5Cnabla%20f(0,0,0)%20%5Ccdot%20%5Chat%7BAD%7D=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dc_x+%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7Dc_y=a+b

 

 

[אודי]

מכפלה סקלרית מקיימת את חוק הפילוג; מכיוון שאפשר לראות ש:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Chat%7BAD%7D=%5Chat%7BAB%7D+%5Chat%7BAC%7D

 

בפרט נובע שהנגזרת המכוונת בכיוון AD היא סכום הנגזרות המכוונות בכיוונים AB ו-AC:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?Df_%7B%5Cvec%7BAD%7D%7D(0,0,0)=%5Cnabla%20f(0,0,0)%20%5Ccdot%20%5Chat%7BAD%7D=%5Cnabla%20f(0,0,0)%20%5Ccdot%20(%5Chat%7BAB%7D+%5Chat%7BAC%7D)

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?Df_%7B%5Cvec%7BAD%7D%7D(0,0,0)=Df_%7B%5Cvec%7BAB%7D%7D(0,0,0)+Df_%7B%5Cvec%7BAC%7D%7D(0,0,0)=a+b

 

...החישוב הארוך היה נחוץ אם היו מבקשים לחשב את הנגזרת המכוונת בכל כיוון שאינו סכום או הפרש של AB ו-AC במישור xy

[mahmoudz14]

המון תודה אודי עזרת לי מאד :)